권찡's 공학이야기

본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다. 가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다. t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다. 보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다. 만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는 이런 식이 되는 것입니다. 이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다. 위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다. 앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다. 특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠 그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다. 또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경..

지난 장 라플라스변환 제 1변이 공식까지 알아봤습니다. 라플라스 변환의 가장 기초적인 부분이었습니다. 이번에는 조금 특이한 형태부터 시작해봅시다. 라플라스 변환에 만약 t의 n승 함수가 다른 함수와 같이 있을 경우 또한 제1변이 공식 같이 더욱 간단히 풀수있는 방법이 있습니다. 공식은 다음과 같죠즉 t의 차수에 따라서 미분을 취하는 경우입니다.예를 들면 바로 이해 하실 것입니다. 위 공식과 제 1변이 공식역시 둘다 중복해서 사용가능합니다. 반대로 변환할 함수 내에서 1/t가 존재 할때는 적분을 취하는 것입니다. 이런 형식으로 적분을 취할수 있습니다. 역시 예를 하나 들어보죠 이렇게 변환할 함수에 t 나 1/t가 있을 경우 위와 같은 연산을 통해서 쉽게 풀어낼수가 있습니다. 위 경우의 반대로 역변환의 경우..

라플라스 변환에 대해서 알아봅시다. 일단 라플라스 변환은 쉽게 말해서 t함수를 s 함수로 바꾸는 작업을 말합니다. 왜 라플라스 변환을 하냐면 주어진 어려운 문제를 쉬운 문제로 변환시킬수 있기 때문입니다. 이전까지의 미분방정식도 라플라스 변환을 사용하여 풀수 있습니다. 무슨 소리냐 하면 관점을 바꾸는 것입니다. 정면에서 본것을 옆면에서 보아 쉽게 보이게 하는 것이지요. 뭐 개요는 여기까지하고 라플라스는 앞서 설명한것처럼 어려운 문제를 쉽게 풀수 있게 해줍니다. 그래서 제어공학 등등 여러분야에서 활용됩니다. 일단 라플라스 기호는 이런 형태를 띄고 있습니다 위 기호를 사용하면 아래와 같은 계산을 취하라는 소립니다 이것이 곧 정의이기도 하죠 위 변환을 취하는 것이 라플라스입니다. 이를 통해 s만의 함수로 변환하..

앞서 다룬 스튀름-리우빌 이론 (간단한 설명) 의 대표적 예로 르장드르 방정식이 있었습니다. 아래와 같은 꼴의 미분 방정식을 르장드르 미분방정식이라고 합니다. 여기서 n은 상수입니다. 음이 아닌 양의 상수 스튀름-리우빌 형식으로 쓰면 위 식은 x가 1,-1,무한 에서 정칙 특이점을 가집니다. 하지만 이 점들 대신에 x=0 주변에서의 해의 행동에서만 관심을 갖겠습니다. 왜냐하면 x=0 주변에서의 해 들이 물리나 공학에서 더 의미 있기 때문입니다. x=0 일때 정상해를 가지기 때문에 아래의 식을 위 르장드르 미분방정식에 대입하면 이러한 형태의 식을 얻을수 있습니다. 이 식에서 우변의 0이 되려면 계수 부분이 0이 어야 하기 때문에 식을 정리하면 아래와 같은 순환 공식을 얻게 됩니다. 여기서 c0와 c1이 임..

뒤에 다룰 르장드르 미분방정식, 기타 등등을 다루기 위해서 먼저 스튀름-리우빌 이론에 대해서 알고 갑시다. 앞서 정리한 프로베니우스 방법이 단순하다면, 스튀름-리우빌 이론은 포괄적하다고 볼수 있습니다. 미분방정식 이론은 규칙이 별로 없고 , 각각 마다 해법이 등장하는게 일반적이지만, 모든 2차 선형 상미분 방정식의 해를 예측할수 있는 스튀름-리우빌 이론은 적용범위가 거대하다고 할수 있죠. 스튀름-리우빌 미분 방정식은 아래와 같이 표현됩니다. 여기서 람다는 상수이며, 기타 p,q,r 은 실수인 함수로 가정합니다. 여기서 p(x)는 미분 가능해야하며, q(x)는 특별한 제약은 없고, r(x)는 전체 구간에서 항상 0보다 커야한다고 가정해봅시다. 이 방정식은 선형 방정식이므로 p,q,람다 의 갑셍 따라 해의 ..

프로베니우스 해법은 앞서 다룬 급수해법중에서 어떠한 경우를 나타냅니다. 물리학이나 공학에서 많이 나타나는 미분방정식은 아래의 형태를 많이 가집니다. 이때 a(x)를 양변에 나누며 정리하면 아래의 형태가 됩니다. 이때 각각 p,q의 분모 가 0이 되지 않는다면 정상해를 갖고, 0이 된다면 특이해를 갖는다고 정리했습니다. 세부적으로 들어가면 정칙 특이점, 비정칙 특이점이 존재합니다. 예로 이전에 급수해법을 설명할때 특이해를 가질경우 어떻게 급수를 정하는가에 대해서 잠깐 보여드렸습니다. 문제를 가지고 이해해봅시다. 이러한 방식으로 특이해를 구할수 있습니다.

지금까지 상미분 방정식에 대해서 풀이법을 정리했습니다. 이제부터는 연립 미분방정식에 대해서 다뤄봅시다. 연립방정식을 언제 배웠는지는 기억이 안나지만, 연립 방정식과 마찬가지로 연립 미분방정식도 비슷하게 풀수 있습니다. 가감법, 대입법, 소거법 등등 모든지 적용해서 푸는 것이 가능합니다. 그중에서 행렬을 이용해서 연립방정식을 푸는 법이 있습니다. 이런 행렬을 이용해서 미분방정식도 풀수 있습니다. 이러한 방식으로 연립 미분방정식을 풀어낼수 있습니다. 그러나 연립 미분방정식이 1계 미방으로만 되어있지는 않습니다. 그럴경우 앞서 말한 가감법이나 소거법을 이용해서 풀수도 있죠 구해진 x값을 이용해서 미분 방정식에 대입해 y값을 구하는 것입니다. 생각보다 매우 간단하지만 잘 보면 제차 미방간의 연립입니다. 다뤄야 ..

이전에 다룬 리카티 미분방정식이나 베르누이보다 더 쉬운 미분방정식입니다. 클레로(Clairaut) 미분방정식은 아래와 같은 형태를 보고 말합니다. 푸는 방법은 간단합니다. 위 식을 양변에 x로 미분합니다. 곱해서 0이 되는 경우는 2가지 밖에 존재하지 않습니다. 1. y''=0 인 경우 이 경우 y의 함수가 일차 함수라는 것을 알수 있습니다. (2번 미분하니 0이 되니) 즉 y=ax+b 2. x+f'(y') 가 0인 경우 이 경우 x나 y'에 관하여 관계식을 구한후 주어진 미분 방정식에 대입해 풀어야 합니다. 예를 들어서 이해해봅시다. 매우 간단한 풀이죠 사실상 미분방정식 같지도 않은 간단한 풀이입니다.

리카티(Riccati) 미분방정식은 아래와 같은 식입니다. 위와 같은 형태의 미분 방정식을 보고 리카티 미분방정식이라고 합니다. 지금까지 정리한 내용으로 이런 미분방정식을 푸는 법이 떠오르지가 않습니다. 상당히 어려운 미분방정식입니다. 왜냐? 일단 풀이가 이미 알고 있는 particular Solution이 있어야 됩니다. ?????? 무슨 말이냐면, 하나의 특수해를 알고 있어야 다음의 풀이가 가능하다는 것인데, 이 특수해를 얻는 방법이 따로 있는 것이 아니며, 직관적으로 혹은 여러번의 시도로 얻어야 합니다. 가령 y=2x 넣으면 성립할 것 같은데?? 혹은 y=1 넣으면 성립하는데?? 와 같은 방식으로 찾아야 하기 때문입니다. 리카티 미분방정식의 예를 하나 들어볼까요?? 이런식으로 하나의 해를 때려 맞춰..

코시 오일러 미분 방정식은 이전에도 설명한 적이 있습니다. https://kwon-jjing.tistory.com/9?category=763310 여기서 설명을 했었습니다. p(x),q(x)가 상수항이 아닐 경우 중에서 이러한 형태를 가지는 미분방정식을 코시오일러 미분방정식이라고 하였습니다. 해를 구하는 법에 대해서는 위의 링크에서 설명을 했었기 때문에 이번에 설명할 내용은 코시오일러 미방에서도 우변의 R(x)가 x나 ln x 형태 일때 치환을 통해서 상수항 계수를 가지는 미분방정식처럼 푸는 법에 대해서 정리하겠습니다. 위와 같은 방식을 통해서 우변의 R(x)항이 삼각함수나 지수함수의 형태가 아니라면 치환을 통해서 보다 간단히 풀어낼수 있습니다.