스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville Theory) ver.1

뒤에 다룰 르장드르 미분방정식, 기타 등등을 다루기 위해서 먼저 스튀름-리우빌 이론에 대해서 알고 갑시다.

앞서 정리한 프로베니우스 방법이 단순하다면, 스튀름-리우빌 이론은 포괄적하다고 볼수 있습니다.

미분방정식 이론은 규칙이 별로 없고 , 각각 마다 해법이 등장하는게 일반적이지만, 모든 2차 선형 상미분 방정식의 해를 예측할수 있는 

스튀름-리우빌 이론은 적용범위가 거대하다고 할수 있죠.

스튀름-리우빌 미분 방정식은 아래와 같이 표현됩니다.

여기서 람다는 상수이며, 기타 p,q,r 은 실수인 함수로 가정합니다.

여기서 p(x)는 미분 가능해야하며, q(x)는 특별한 제약은 없고, r(x)는 전체 구간에서 항상 0보다 커야한다고 가정해봅시다.

이 방정식은 선형 방정식이므로 p,q,람다 의 갑셍 따라 해의 공간은 백터 공간은 이룹니다.

여기서 스튀름-리우빌 문제는 해의 공간이 0차원이 아닌 람다들의 값을 구하는 문제입니다.

정말 신기하게도 위의 스튀름-리우빌 미분 방정식의 표현형태는 모든 2차 선형 상미분 방정식을 표현할수 있습니다.

가령 아래와 같이 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 해봅시다.

양변을 P(x)로 나누고 , 양변에 적분인자를 곱하고 나서 정리하면 됩니다.

사실 스튀름-리우빌 미분 방정식만 이해하고 있다면 공학 분야에 나오는 대부분의 미분 방정식을 푸는 것이 가능합니다.

이 이론을 모르고 대학을 졸업했다면 수학 포기했다는 말과 같다고 생각합니다.

좀 자세하게 알아봅시다. 이번에는 정리할 내용이 굉장히 길것입니다.

먼저 2차 선형 상미분 방정식을 위와 같은 스튀름-리우빌 방정식과 같이 표현할수 있는가에 대해 알아봅시다.

  

이러한 2차 선형 미방을 아래와 같은 형태로 바꿔보는 것이죠

적분인자를 통해서 증명해보겠습니다.

잘 보시면 p(x) 가 적분인자인것을 알수 있습니다.

이 식을 일반적인 2차 선형미방 식에 대입하여 아래의 식을 얻습니다.

물론 다른 방식도 있습니다. 연산자를 이용하는 방법도 있습니다.

깊게 들어가면 고유치와 가중치 함수 등등 설명해야 될 내용이 많습니다. 이내용을 이해하기 쉽게 풀어 내기는 어렵네용. 

깊이 들어가려면 지금 정리한 내용만 가지고는 힘드므로 어느정도 정리가 진행되고 다시 재정리 할것입니다.

스튀름-리우빌 방정식의 예를 든다면 베셀 방정식이나 르장드르 방정식이 대표적입니다.

이런 스튀름- 리우빌 방정식의 초기조건 혹은 경계조건이 만족시키는 해를 찾는 문제를 스튀름 리우빌 문제라고 합니다.

예를 들어보면

실제 예를 보면 생각보다는 간단합니다

이런 스튀름-리우빌 형태의 미분 방정식은 그 해로 주어진 함수가 서로 다른 고유치에 대해서 직교성을 가지는 성질이 있다는 것 정도

람다값은 점점 증가한다는 점(발산)

하나의 고유값에 대응하는 고유함수는 무수히 많지만, 서로 상수배인점 만 일단 알아둡시다.

또한 가령 아래와 같다고 하면

위와 같이 됩니다.