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권찡's 공학이야기
이번에는 조금 다른 개념을 가지고 와서 아주 쉽게 미분방정식의 특수해를 구하는 법에 대해서 정리하겠습니다. 미정계수법은 일단 어떠한 정해진 틀을 벗어날수 없다는 단점이 있습니다. 론스키안의 경우 시간이 너무 오래걸린다는 단점이 있죠 이런 단점을 보안하기 위해 미분 연산자를 사용하는 방법을 알려드리겠습니다. 미분 연산자란 무엇인가?의 질문을 하실것 같아서 설명을 앞서 드리고 특수해를 구하는 법을 공식화 시켜보겠습니다. 일단 미분 연산자란 D를 이용해 미분을 표현하는 것입니다. 즉 이와 같이 표현하는 방법입니다 여기서 D는 미분을 한다는 뜻의 연산자입니다. 이런 연산중에 1/D는 적분을 한다는 의미로 통할수도 있겠습니다. 이전에 했던 식을 그대로 활용해 보겠습니다. 이런식으로 변환시키는 것이지요. 정확히 말..
비제차 미분방정식에서 특수해를 구하는 방법중에 거의 모든 미분 방정식에 쓸수 있는 해법이 있습니다. 론스키안 해법입니다. 론스키안이란 뭘까요? 선형대수를 할줄 아시는 분이라면 독립과 종속에 관해서 알고계실 것입니다. 정말 간단히 요약한 것인데 쉽게 말하면 각각의 함수 fn 들이 앞의 상수를 통해서 곱하고 빼서 위 식이 성립 되면 각각의 함수는 종속이라는 것입니다 . 즉 서로 연관이 있다는 것으로 이해 해도 무관합니다. 예로 f1 = x-1f2 = 5x-5 위 의 2개의 함수가 있을때 서로 상수5를 곱한 관계가 존재하면 종속입니다. 그러나 e^3x 와 sinx 가 각각 f1,f2라면 각 함수에 상수c를 곱해서 서로의 함수 형태로 만들수가 없습니다. 이런 경우 두 함수를 독립이라고 합니다. 이런 종속과 독립..
이번에는 비제차 미분방정식의 풀이를 정리해보겠습니다. 위와 같은 표준형에서 우변의 R(x)항이 0이 아닐경우 비제차(Nonhomogeneous)라고 합니다. 이러한 비제차 미분방정식의 해를 구하는 법을 정리하기 앞서 해에 대해서 정리하고 갈 내용이 있습니다. 제차 미분 방정식 , 즉 R(x)=0 일때 해를 구한 것을 우리가 homogeneous solution (제차일 경우 구해지는 해) 라고 하죠. 그리고 우변 R(x)에 대해서 구해지는 해, 즉 비제차의 경우 구해지는 해를 particular solution, 특수해라고 합니다. 이때 양쪽 해의 상관 관계에 대해 설명을 먼저 해야될것 같습니다. #중첩의 원리 합수 y1, y2, y3 ......... yk가 n계 제차 선형 미분 방정식의 해라면 임의의..
2계 미분방정식 , 더 나아가 고계 미분 방정식에 대해 푸는 방법을 정리해보겠습니다. 가장 기본적인 2계 미방의 일반형태를 보면 아래의 식과 같습니다. 표준형이죠 이때 우변의 R(x)가 0 일 경우 제차미분방정식, 0이 아닐 경우는 비제차 미분방정식이라 합니다. 제차미분방정식을 풀수있어야 하는 것이 먼저이기 때문에 제차부터 해봅시다. 가장 먼제 계수감소, 계수저하법 이라 불리는 풀이법이 있습니다. 2계 미분방정식 중 하나의 해 y1을 알고 있을때 y2를 구하는 방법이죠 하나의 해 y1이 y2와 비슷한 형태를 가질것이라는 가정에서 나온 식입니다. y2= u y1 이라 가정하고 식을 구하는 것으로 공식은 아래와 같습니다. 이렇게 u를 구한 후 하나의 해 y1과 곱하는 것으로 구합니다. 본격적으로 2계 제차 ..
앞서 1계 미분방정식의 3가지 풀이를 해봤습니다. 변수 분리형태, 완전미분방정식 형태, 1계 선형 미분방정식 형태 대부분의 경우 위의 3가지 방법안에서 풀수 있습니다만, 1계 미분 방정식에서 위와 비슷하면서도 다른 미분방정식이 존재합니다. 이 미분방정식은 위의 3가지 방법으로 풀릴것 같으면서도 풀리지 않습니다. 이런 미분방정식에 관해서 알아보고, 풀이를 해봅시다. ** 베르누이 미방** 위 형태의 미분방정식을 보면 어떤 방법으로 풀어야 할까요? 언뜻 보기에는 1게 선형미분방정식의 풀이를 쓰면 될것 같아 보입니다. 그러나 우변에 y에 관한 항이 있어서 1계선형미방의 해법으로 풀수가 없습니다. 또한 변수분리, 완전 미방의 형태로도 힘들죠 이러한 1계 미분 방정식은 조금 다른 해법이 필요합니다. 이런식으로 치..
선형과 비선형에 관해서는 이미 분류하는 법을 이야기 했으니 해를 구하는 법에 대해서만 다뤄봅시다. n계 선형미분방정식에서 일단 1계까지만 봅시다. 이러한 형태의 미분 방정식이 1계 선형 미방입니다. y' 항의 계수 a1이 0이 아닐경우 양변에 나눠서 보기 편하게 해도 무방합니다. 계수를 나누면 아래의 식이 됩니다. 일반해를 유도해봅시다. 양변에 를 곱합니다. 적분인자라고 하여 이후 식에 어떠한 연산을 편하게 하기 위해서 넣는 것입니다. 유도는 이런식으로 합니다. 실제 문제를 예로 풀어보는 것이 가장 좋은 연습일 될 것이기 때문에 해봅시다. 고계 미방이 아니라서 풀이는 간단합니다. 또한 여기서 p(x),q(x)가 상수항이라면 더욱 쉽게 일반해를 얻을수 있습니다. 지금까지 일반적인 1계 미분방정식의 풀이를 ..
먼저 완전미분방정식이 어떤 것인가 정의해야합니다. 전미분 방정식(Total Differential Equation)에 대해서 알고 있다면 완전 미방을 이해하기 쉬울것입니다. 이변수 함수의 u(x,y)=c 의 전미분을 하면 아래의 식으로 정의됩니다. 이 식을 통해서 1계 미분방정식의 형태로 바꿀수가 있는데 이때 아래와 같이 가정해봅시다. 이 식을 전미분방정식에 대입하면 이러한 전미분방정식으로 됩니다. 위 전미분 방정식이 를 만족하는 이변수함수 u가 존재하면 이를 두고 와전 미분방정식이라고 합니다. 우리가 마주하는 미방이 완전미방인지 아닌지 아는 방법은 간단합니다. 위의 조건이 만족하면 완전 미분방정식이 성립하는 것이죠. 예를 들어서 완전미방을 설명하도록 하겠습니다. 위와 같은 미분방정식이 있을때 완전 미방..
가장 간단한 1계 미분방정식의 풀이 부터 시작합니다. 1계 미분방정식은 여러가지 종류가 있겠지만, 아래의 조건이 만족한다면 변수분리법으로 푸는것이 간단합니다. 위와 같은 형태로 정리가 가능하면 변수분리법으로 풀수있습니다. 제가 생각하기로는 1계 미분방정식의 풀이중 가장 간단한 해법입니다. 원래는 dy/dx는 일반적인 분수와 같이 dx를 곱한다고 dy가 되는 형태는 아니지만 , 이런 경우는 가능합니다. 즉, 이렇게 정리를 한후 각각의 변수에 따라서 적분을 취하는 것으로 미분방정식의 해를 구하는 것입니다. 예를 들어보겠습니다. 이런식으로 풀어내는 것이 변수분리형이라고 보시면 되겠습니다. 이것을 통해서 공식화된 일반해를 보면
미분 방정식의 풀이법 종류는 여러가지가 있습니다. 그중에서 변수계수를 갖는 선형 상미분방정식의 가장 표준적인 해법인 급수해법(Power Series Method)부터 알아봅시다. 가령 y'' - 2xy' + y =0 과 같은 미방이 존재한다면 위와 같은 식을 대입해서 푸는 방법이 급수해법이 되겠습니다. 해가 멱급수형태로 얻어지게 되는 것을 알수 있죠. 조금 어려운 한가지 예를 들어보겠습니다. 위와 같은 문제가 있을때 y값을 구할수 있을까요? 이 경우 위에서 보인 식을 대입하여 푼다고 하여도 쉽게 풀릴것 같지는 않습니다만, 삼각함수는 근사화가 가능합니다. maclaurin 급수를 이용하는 것이죠. 혹시 모를분도 있을수 있으니 보여드리면 위 문제를 풀어보자면 y를 전개해본후 초기조건을 대입해 본다면 C0 =..
미분 방정식을 푼다는 것은 항등적으로 만족하는 독립변수의 함수를 구하는 것을 말합니다. 해를 구하기 위해서는 분류가 필요한데 먼저 미분방정식을 분류해봅시다. 크게 보면 상미분방정식, 편미분방정식으로 구분이 가능합니다.더욱 세부적으로 분류하자면 계수,차수,선형/비선형 으로 분류할수 있습니다. 이렇게 분류를 하는 이유는 간단합니다. 분류를 통해 해법을 구하기 위해서죠. 어떻게 분류되는가에 따라서 풀이방법도 상이합니다. ** 상미분 방정식과 편미분 방정식** 상미분 방정식은 한개 또는 그이상의 종속 변수를 한개의 독립변수로 미분한 도함수만을 포함하는 미분방정식을 말합니다.보통 ODE(Ordinary Differential Equation)이라고 부릅니다. 예를 들면 위와 같이 y가 x에 관한 일변수 함수로 표..