권찡's 공학이야기

연립 미분방정식 여러가지 Solution 본문

mathematics/engineering math

연립 미분방정식 여러가지 Solution

권찡 2018. 10. 31. 14:15

지금까지 상미분 방정식에 대해서 풀이법을 정리했습니다.


이제부터는 연립 미분방정식에 대해서 다뤄봅시다.




연립방정식을 언제 배웠는지는 기억이 안나지만, 연립 방정식과 마찬가지로 연립 미분방정식도 비슷하게 풀수 있습니다.


가감법, 대입법, 소거법 등등 모든지 적용해서 푸는 것이 가능합니다.



그중에서 행렬을 이용해서 연립방정식을 푸는 법이 있습니다.



이런 행렬을 이용해서 미분방정식도 풀수 있습니다.



%5C%5C%20x'%5Cquad%20%3Dx%2B2y%5C%5C%20y'%5Cquad%20%3D3x%2B2y%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%9C%84%EC%99%80%5Cquad%20%EA%B0%99%EC%9D%80%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%9E%88%EB%8B%A4%EB%A9%B4%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%5Cquad%20%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%B2%98%EB%9F%BC%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%8F%84%5Cquad%20%EB%8B%B5%EC%9D%80%5Cquad%20%EB%82%98%EC%98%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%ED%97%88%EB%82%98%5Cquad%20%EA%B5%B3%EC%9D%B4%5Cquad%20%EA%B7%B8%EB%A0%87%EA%B2%8C%5Cquad%20%ED%92%80%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%9C%A0%EA%B0%80%5Cquad%20%EC%97%86%EC%A3%A0.%5Cquad%20%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%98%EB%8A%94%5Cquad%20%EA%B2%83%EC%9E%85%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20x'%20%7D%5C%5C%7B%20y'%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%202%20%7D%5C%5C%7B%203%20%7D%26%7B%202%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20x%20%7D%5C%5C%7B%20y%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Cquad%20%EB%A1%9C%5Cquad%20%5Cquad%20%ED%91%9C%ED%98%84%ED%95%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%95%8C%5Cquad%20%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%202%20%7D%5C%5C%7B%203%20%7D%26%7B%202%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%EB%A5%BC%5Cquad%20%ED%96%89%EB%A0%ACA%5Cquad%20%EB%9D%BC%EA%B3%A0%5Cquad%20%EB%B6%80%EB%A5%B8%EB%8B%A4%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%20A%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EC%B9%98%5Cquad%20%EB%B0%8F%5Cquad%20%EA%B3%A0%EC%9C%A0%5Cquad%20%EB%B0%B1%ED%84%B0%EC%97%90%5Cquad%20%EB%94%B0%EB%9D%BC%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9D%84%5Cquad%20%EA%B0%84%EB%8B%A8%ED%9E%88%5Cquad%20%ED%95%B4%EA%B2%B0%ED%95%A0%EC%88%98%EC%9E%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%202%20%7D%5C%5C%7B%203%20%7D%26%7B%202%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EC%B9%98%EB%8A%94%5Cquad%204%2C-1%5Cquad%20%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%82%98%EC%98%A4%EA%B3%A0%5Cquad%20%EA%B7%B8%EC%97%90%EB%94%B0%EB%A5%B8%5Cquad%20%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EB%B0%B1%ED%84%B0%EB%8A%94%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%202%20%7D%5C%5C%7B%203%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Cquad%20%EA%B7%B8%EB%A6%AC%EA%B3%A0%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%20-1%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5C%5C%20%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%82%98%EC%98%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20



%5C%5C%20%EC%9D%B4%EB%95%8C%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%95%B4%EB%8A%94%5C%5C%20%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20x%20%7D%5C%5C%7B%20y%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3Dc1(%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EB%B0%B1%ED%84%B0)%5Ccombi%20%5E%7B%20%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EC%B9%98%5Cquad%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2Bc2(%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EB%B0%B1%ED%84%B0)%5Ccombi%20%5E%7B%20%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EC%B9%98%5Cquad%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%EB%94%B0%EB%9D%BC%EC%84%9C%5C%5C%20%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20x%20%7D%5C%5C%7B%20y%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3Dc1(%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%202%20%7D%5C%5C%7B%203%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D)%5Ccombi%20%5E%7B%204%5Cquad%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2Bc2(%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%20-1%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D)%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Cquad%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20%EA%B0%80%5Cquad%20%ED%95%B4%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20





이러한 방식으로 연립 미분방정식을 풀어낼수 있습니다.



그러나 연립 미분방정식이 1계 미방으로만 되어있지는 않습니다.


그럴경우 앞서 말한 가감법이나 소거법을 이용해서 풀수도 있죠



x'-4x%2By''%3D0%5C%5C%20x'%2Bx%2By'%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%9C%84%5Cquad%20%EC%99%80%5Cquad%20%EA%B0%99%EC%9D%80%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%A1%B4%EC%9E%AC%ED%95%A0%EB%95%8C%5Cquad%20y''%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%A1%B4%EC%9E%AC%ED%95%B4%5Cquad%201%EC%B0%A8%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%92%80%EC%9D%B4%EC%97%90%5Cquad%20%EC%89%BD%EA%B2%8C%5Cquad%20%5C%5C%20%EB%8C%80%EC%9E%85%ED%95%A0%EC%88%98%EA%B0%80%5Cquad%20%EC%97%86%EC%A3%A0%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%9F%B4%EB%95%8C%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%5Cquad%20%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90%EB%A5%BC%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%B4%5Cquad%20%ED%91%9C%ED%98%84%ED%95%B4%EB%B3%B4%EB%A9%B4.%5C%5C%20%5C%5C%20(D-4)x%2B%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20D%20%7Dy%3D0%5C%5C%20(D%2B1)x%2BDy%3D0%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%A0%87%EA%B2%8C%5Cquad%20%ED%91%9C%ED%98%84%ED%95%98%EA%B3%A0%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90D%EB%A5%BC%5Cquad%20%EA%B3%84%EC%88%98%5Cquad%20%EC%B7%A8%EA%B8%89%ED%95%B4%EC%84%9C%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%5C%5C%20%5C%5C%20%ED%92%80%EC%9D%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%ED%95%98%EC%97%AC%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%B3%B4%EC%A3%A0%5Cquad%20%5C%5C%20(D-4)x%2B%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20D%20%7Dy%3D0%5C%5C%20(%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20D%20%7D%2BD)x%2B%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20D%20%7Dy%3D0%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%A0%87%EA%B2%8C%5Cquad%20%ED%95%B4%EC%84%9C%5Cquad%20%5Cquad%20y%ED%95%AD%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%97%86%EC%95%A0%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%20(%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20D%20%7D%2B4)x%3D0%5Cquad%20%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%95%9E%EC%9D%98%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EC%97%B0%EC%82%B0%EC%9E%90%5Cquad%20%EC%8B%9D%EC%9D%84%5Cquad%20%ED%8A%B9%EC%84%B1%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EA%B0%99%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%20D%3D%5Cpm%202i%5C%5C%20x%3Dc1%5Cquad%20cos2t%5Cquad%20%2Bc2%5Cquad%20sin2t%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%5C%5C%20%5C%5C%20%EA%B5%AC%ED%95%9C%5Cquad%20x%EA%B0%92%EC%9D%84%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%ED%95%B4%5Cquad%20y%EC%97%AD%EC%8B%9C%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%A0%EC%88%98%5Cquad%20%EC%9E%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20




구해진 x값을 이용해서 미분 방정식에 대입해 y값을 구하는 것입니다.



생각보다 매우 간단하지만 잘 보면 제차 미방간의 연립입니다.




다뤄야 될 내용은 비제차 연립미방이죠


자주 사용되는 풀이법으로는 4가지 정도가 있습니다.



미분연산자, 미정계수법, 대각화법, 변수변환법 그리고 나중에 다룰 적분변환(라플라스,z변환,푸리에) 등등이 있습니다.




1. 미분연산자


이 방법은 위에서도 설명한 것과 같습니다.


x'%3Dx-10y%2B%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%5C%5C%20y'%3D-x%2B4y%2Bsint%20


이러한 문제가 있다 해봅시다.


이것을  미분 연산자로 표현한다면


(D-1)x%2B10y%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%5C%5C%20x%2B(D-4)y%3Dsint%20




이런식이 될것입니다.


가감법을 통해서 x를 없애봅시다.


(D-1)x%2B10y%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%5C%5C%20(D-1)x%2B(D-1)(D-4)y%3D(D-1)sint%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20(%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20D%20%7D-5D-6)y%3Dcost-sint-%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%9F%B0%5Cquad%20%EC%8B%9D%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20%EC%A0%95%EB%A6%AC%5Cquad%20%ED%9B%84%5C%5C%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%EC%A0%81%EC%9D%B8%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20%ED%92%80%EB%A9%B4%5Cquad%20%5C%5C%20%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20y%20%7D%3D%5Cquad%20A%5Ccombi%20%5E%7B%206t%20%7D%7B%20e%20%7D%2BB%5Ccombi%20%5E%7B%20-t%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%98%EA%B3%A0%5C%5C%20%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20y%20%7D%3D%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%7B%2010%20%7D%2B%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%2037%20%7D(sint-6cost)%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%82%98%EC%98%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4%5C%5C%20%5C%5C%20%ED%8A%B9%EC%88%98%ED%95%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%EC%A7%81%EC%A0%91%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%B4%EB%B4%85%EC%8B%9C%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%9F%B0%EB%B0%A9%EC%8B%9D%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20y%EB%A5%BC%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%9C%ED%9B%84%5Cquad%20%EC%B4%88%EA%B8%B0%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%97%B0%EB%A6%BD%EC%8B%9D%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%5C%5C%20%5C%5C%20y'%3D-x%2B4y%2Bsint%5Cquad%20---%5Cto%20x%3D%5Cquad%204y-y'%2Bsint%5Cquad%20%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%86%93%EA%B3%A0%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%20x%3D-2A%5Ccombi%20%5E%7B%206t%20%7D%7B%20e%20%7D%2B5B%5Ccombi%20%5E%7B%20-t%20%7D%7B%20e%20%7D%2B%5Cfrac%20%7B%203%20%7D%7B%2010%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2B%5Cfrac%20%7B%205%20%7D%7B%2037%20%7D(7sint-5cost)%5Cquad%20%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%20




미분 연산자를 활용해서 연립 미방을 푸는 방식입니다.





2. 미정계수법



비제차 미분방정식에서 특수해를 미정계수법으로 풀이하는 것을 다뤘습니다. 연립 미분방정식 역시 미정계수를 정해서 풀어내는 것이죠


위에서의 문제를 그대로 가져와보겠습니다.


행렬로 표현하면


%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20x'%20%7D%5C%5C%7B%20y'%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%20-10%20%7D%5C%5C%7B%20-1%20%7D%26%7B%204%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20x%20%7D%5C%5C%7B%20y%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%2B%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20sint%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%20



이때 R(x)값이 없다면 우리는 행렬을 통해서 homogeneous 해를 구할수 있었습니다. 고유치와 고유백터를 이용해서



%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20y%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3DA(%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-2%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D)%5Ccombi%20%5E%7B%206t%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20%2B%5Cquad%20B(%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%205%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D)%5Ccombi%20%5E%7B%20-t%20%7D%7B%20e%20%7D%20




이제 특수해를 구하기 위해서 미정계수를 설정합시다.




위의 문제와 같은 경우 지수함수와 삼각함수가 있으므로 다음과 같이 특수해를 가정합니다.



%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20Z%20%7D%5Cquad%20%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20y%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3DU%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2BVsint%2BWcost%5C%5C%20U%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Cquad%20%2C%5Cquad%20V%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20v%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20v%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%2CW%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20w%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20w%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%20



이런식으로 U,V,W를 각각 백터 취급해 특수해로 설정합니다.



이런 특수핼르 미분 방정식에 대입하겠습니다.


%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%20-10%20%7D%5C%5C%7B%20-1%20%7D%26%7B%204%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%3DA%EB%9D%BC%5Cquad%20%EA%B0%80%EC%A0%95%5C%5C%20%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20Z'%20%7D%3D%5Cquad%20A%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20Z%20%7D%2B%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20sint%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Cquad%20%EB%8A%94%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EC%84%9C%5Cquad%20%EC%84%A4%EB%AA%85%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%20U%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2BVcost-Wsint%3DAU%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2BAVsint%2BAWcost%2B%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20sint%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5C%5C%20%20



미지수가 있는 항은 전부 좌변으로 이항시켜 성립시켜봅시다.


U%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2BVcost-Wsint-AU%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D-AVsint-AWcost%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20sint%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5C%5C%20%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20sint%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D(E-A)U%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%2B(V-AW)cost-(W%2BAV)sint%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%9D%B4%EB%95%8C%5Cquad%20cost%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%84%EC%88%98%EB%8A%94%5Cquad%200%2C%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%20t%20%7D%7B%20e%20%7D%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%84%EC%88%98%EB%8A%94%5Cquad%20%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%200%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Cquad%20%2C%5Cquad%20sint%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%84%EC%88%98%EB%8A%94%5Cquad%20%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%200%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Cquad%20%5Cquad%20%5C%5C%20%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%90%98%EC%95%BC%EB%A7%8C%5Cquad%20%ED%95%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20





지수함수의 경우는 계수 계산이 간단하네요


%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%200%20%7D%26%7B%2010%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%26%7B%20-3%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%200%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5C%5C%20%EB%94%B0%EB%9D%BC%EC%84%9C%5Cquad%20%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20u%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%203%2F10%20%7D%5C%5C%7B%201%2F10%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5C%5C%20%20


삼각함수의 계수는 cos함수와 sin함수 양쪽의 계수에 대해서 연립 방정식으로 풀어야합니다.


계산을 하게 되면


V%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%2037%20%7D(%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%2035%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D)%5C%5C%20W%3D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%2037%20%7D(%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%2025%20%7D%5C%5C%7B%206%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D)%20



이런 값이 나옵니다.



결과적으로 특수해의 미지 행렬 값을 다 구할수가 있는 것이죠




3. 대각화법



연립 미분방정식에서 특히나 대각화법을 통해서 풀릴것 같은 문제는 대각화법을 통해서 푸는 것이 좋습니다. 계산 시간이 많이 단축됩니다.


대각화법이란 1차 연립미방에서 적용하기 쉬운 방법입니다. 이중에서 서로 다른 고유값을 갖는 연립 미방에 적용시키는 방법이죠




선형대수의 지식을 조금 알아야 이해하실수 있는데 행렬에는 직교행렬, 대칭행렬. 교대행렬 이라는 것이 존재합니다.


이중에서 A라는 행렬이 대각화가 된는 행렬, 즉 |A|=0 이 되지 않는 행렬들이 대각화가 가능하다는 것만 일단 알고 넘어갑시다. 앞서 말한 행렬들 중에서는 대칭 행렬은 무조건 대각화가 가능합니다.




이런 대각화를 이용해서 미분방정식을 풀어내는 것입니다.



기존의 행렬 A와 고유백터, 고유값으로 이뤄진 행렬  사이에 아래와 같은 관계가 존재하면 대각화가 되는 것이죠



D%3D%5Cquad%20%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EA%B0%92%EB%93%A4%EB%A1%9C%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%A4%84%EC%A7%84%5Cquad%20%ED%96%89%EB%A0%AC%5C%5C%20X%3D%EA%B3%A0%EC%9C%A0%EB%B0%B1%ED%84%B0%ED%96%89%EB%A0%AC%5C%5C%20%5C%5C%20D%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DAX%5Cquad%20%EA%B4%80%EA%B3%84%EA%B0%80%5Cquad%20%EC%84%B1%EB%A6%BD%20




이런 것을 실제 미분 방정식에 적용시켜보겠습니다.


Z%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DY%EB%A1%9C%5Cquad%20%EC%A0%95%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%20Y%3DXZ%5C%5C%20Y'%3DAY%2BG%5Cquad%20%EC%9D%98%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20XZ'%3DAXZ%2BG%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%98%EA%B3%A0%5Cquad%20%EC%96%91%EB%B3%80%EC%97%90%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7D%EC%9D%84%5Cquad%20%EA%B3%B1%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20%5C%5C%20Z'%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DAXZ%2B%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DG%5Cquad%20%5Cquad%20%3D%5Cquad%20DZ%2BH%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cquad%20(D%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DAX%2C%5Cquad%20H%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DG)%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%9D%B4%EB%A0%87%EA%B2%8C%5Cquad%20%EC%A0%95%EB%A6%AC%ED%95%98%EA%B3%A0%5Cquad%20%EC%84%B1%EB%B6%84%EC%9D%84%5Cquad%20%ED%99%95%EC%9D%B8%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20z'%3D%5Clambda%20z%2Bh%5Cquad%20%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%98%EC%96%B4%5Cquad%20%EC%9D%BC%EA%B3%84%5Cquad%20%EC%84%A0%ED%98%95%EB%AF%B8%EB%B0%A9%ED%92%80%EC%9D%B4%EB%A1%9C%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%82%B4%EB%8A%94%5Cquad%20%EA%B2%83%EC%9D%B4%5Cquad%20%EA%B0%80%EB%8A%A5%20



%EC%9D%B4%EB%A0%87%EA%B2%8C%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%9C%5Cquad%20Z%EB%8A%94%5Cquad%20%EB%8B%A4%EC%8B%9C%5Cquad%20%5C%5C%20Y%3DXZ%EB%A1%9C%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%98%EB%A9%B4%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%84%5Cquad%20%ED%92%80%EA%B2%8C%5Cquad%20%EB%90%98%EB%8A%94%5Cquad%20%EA%B2%83%EC%9E%85%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20




말로는 이해하기 어렵습니다.



역시 예를 들어서 이해하는게 가장 좋겠죠



Y'%3DAY%2BG%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20-3%20%7D%26%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%26%7B%20-3%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7DY%2B%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-6%20%7D%5C%5C%7B%202%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20


이러한 미분 방정식이 있다고 해보면


A행렬은 Y앞에 있는 행렬입니다. 


이 행렬의 고유값은 -2,-4 이며, 이에 따른 고유벡터는 (1,1)(1,-1) 입니다.



즉

X%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%26%7B%20-1%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5C%5C%20Z%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DY%3D-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%20%7D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20-1%20%7D%26%7B%20-1%20%7D%5C%5C%7B%20-1%20%7D%26%7B%201%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7DY%5C%5C%20H%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20X%20%7DG%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%20%7D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%26%7B%20-1%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-6%20%7D%5C%5C%7B%202%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-2%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20-4%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%20




따라서 


Z'%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20-2%20%7D%26%7B%200%20%7D%5C%5C%7B%200%20%7D%26%7B%20-4%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7DZ%2B%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-2%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20-4%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%20


이렇게 식을 고치면 Z에 관한 1계 연립 미방이 됩니다. 



각각의 성분을 나눠서 풀기 편해짐에 따라서 Z를 간단히 풀수 있게 되는 것이죠



%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20z'%20%7D%2B2%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20z%20%7D%3D-2%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%5C%5C%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20z'%20%7D%2B4%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20z%20%7D%3D-4%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20




위 미방을 풀고 나서 Y을 구하면 됩니다.


Y%3DXZ%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%201%20%7D%26%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%26%7B%20-1%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20A%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D-2t%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20B%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20e%20%7D-2%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%20



4. 변수변환법


이 방법은 조금더 어려운 방법이라 생각됩니다. 행렬이 백터의 개념을 가지는 것을 알고 , 그에 따른 성질을 알아야 하기 때문이죠



앞서 대각화법이 각각 행렬의 원소를 정리해 서로 연관성이 없게 하여서 푸는 방법이라면, 이번엔느 homogeneous해를 가지고 특수해를 유추하는 방식의 풀이입니다.



Y'%3DAY%2BG%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20-3%20%7D%26%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%26%7B%20-3%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7DY%2B%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-6%20%7D%5C%5C%7B%202%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20



homogeneous해를 먼저 구하게 되면


%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20Y%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20y%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20c%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%2B%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20c%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%20-1%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20e%20%7D%20


이렇게 나오게 됩니다.



이것을 표현을 조금 바꿔보겠습니다.

%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20Y%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%20h%20%7D%7B%20y%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20c%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%201%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%2B%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20c%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%201%20%7D%5C%5C%7B%20-1%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20e%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20-e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20c%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20c%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%20



Y%3D%5Cvarphi%20C%5C%5C%20C%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20_%7B%201%20%7D%7B%20c%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20_%7B%202%20%7D%7B%20c%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%5Cquad%20%2C%5Cquad%20%5Cvarphi%20%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20-e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%20




변수 변환법에서는 앞서 C행렬을 변수로 변환하는 것입니다, 


즉 C 대신 새로이 U 행렬을 정의하여, 이를 미분방정식에 대입하여 만족하는 행렬을 찾는 것입니다.





대입을 해보면 아래와 같이 되겠죠


Y'%3DAY%2BG%5Cquad%20%5Cquad%20%3C-%5Cquad%20%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20Y%20%7D%3D%5Cvarphi%20U%5C%5C%20%5Cvarphi%20'U%2B%5Cvarphi%20U'%3DA%5Cvarphi%20U%2BG%20



여기에 일반해의 행렬 관계들의 식을 이용하여 조금 귀찮은 작업을 거치고 나면, 아래의 결론은 얻게 됩니다.



여기서 b행렬은 제가 쓴 행렬에서 G 행렬과 같은 말입니다.



%EB%94%B0%EB%9D%BC%EC%84%9C%5Cquad%20U'%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20%5Cvarphi%20%20%7DG%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cto%20%5Cquad%20%5Cquad%20U%3D%5Cint%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20%5Cvarphi%20%20%7DG%20%7D%5Cquad%20dt%5C%5C%20%EC%A6%89%5Cquad%20%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20Y%20%7D%3D%5Cvarphi%20%5Cint%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20%5Cvarphi%20%20%7DG%20%7D%5Cquad%20dt%5Cquad%20%20



적용시켜봅시다.





%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20%5Cvarphi%20%20%7D%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%20%7D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%204t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20-%5Ccombi%20%5E%7B%204t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5C%5C%20%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20Y%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20-e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%202%20%7D%5Cint%20%7B%20%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%204t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20-%5Ccombi%20%5E%7B%204t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-6%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%202%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%20%7D%5Cquad%20dt%5Cquad%20%20




%5Ccombi%20_%7B%20p%20%7D%7B%20Y%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20pmatrix%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%26%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-4t%20%7D%7B%20-e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20pmatrix%20%7D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-2t%20%7D%5C%5C%7B%20-2%5Ccombi%20%5E%7B%202t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20-2t%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D-2%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5C%5C%7B%20-2t%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%2B2%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D%3D-2(%5Cbegin%7B%20matrix%20%7D%7B%20t%2B1%20%7D%5C%5C%7B%20t-1%20%7D%5Cend%7B%20matrix%20%7D)%5Ccombi%20%5E%7B%20-2t%20%7D%7B%20e%20%7D%20



이런 방식으로 구하는 것이 변수변환법입니다.



'mathematics > engineering math' 카테고리의 다른 글

스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville Theory) ver.1  (2) 2018.11.08
미분방정식(ODE) 풀이-프로베니우스 해법  (0) 2018.11.08
특수한 미분방정식(클레로 미분방정식)  (0) 2018.10.30
특수한 미분방정식(리카티 미분방정식)  (0) 2018.10.30
특수한 미분방정식(코시 오일러 미분방정식)  (1) 2018.10.30
'mathematics/engineering math' Related Articles more