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특수한 미분방정식(클레로 미분방정식)

권찡 2018. 10. 30. 23:23

이전에 다룬 리카티 미분방정식이나 베르누이보다 더 쉬운 미분방정식입니다.



클레로(Clairaut) 미분방정식은 아래와 같은 형태를 보고 말합니다.


y%3Dxy'%2Bf(y')%20



푸는 방법은 간단합니다.


위 식을 양변에 x로 미분합니다.


y'%3Dy'%2Bxy''%2By''f'(y')%5C%5C%20xy''%2By''f'(y')%3D0%5C%5C%20y''%5Bx%2Bf'(y')%5D%3D0%20





곱해서 0이 되는 경우는 2가지 밖에 존재하지 않습니다.



1. y''=0 인 경우


이 경우 y의 함수가 일차 함수라는 것을 알수 있습니다. (2번 미분하니 0이 되니)


즉 y=ax+b  






2. x+f'(y') 가 0인 경우


이 경우 x나 y'에 관하여 관계식을 구한후 주어진 미분 방정식에 대입해 풀어야 합니다. 







예를 들어서 이해해봅시다.




%EB%AC%B8%EC%A0%9C1.%5Cquad%20y%3Dxy'%2B%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20(y')%20%7D%5Cquad%20%EC%9D%84%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%9D%BC%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%96%91%EB%B3%80%EC%9D%84%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%5Cquad%20y'%3Dy'%2Bxy''%2B2y'y''%5C%5C%200%3Dy''(x%2B2y')%5C%5C%20%5C%5C%201.%5Cquad%20y''%3D0%5Cquad%20%EA%B2%BD%EC%9A%B0%5C%5C%20y%3Dax%2Bb%5Cquad%20%5C%5C%20%EB%B3%B8%EB%9E%98%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%5C%5C%20ax%2Bb%3Dax%2B%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20a%20%7D%5Cquad%20%2F%2F%5Cquad%20b%3D%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20a%20%7D%5C%5C%20%5C%5C%202.%5Cquad%20x%2B2y'%3D0%5Cquad%20%EA%B2%BD%EC%9A%B0%5C%5C%20y'%3D-%5Cfrac%20%7B%20x%20%7D%7B%202%20%7D%5C%5C%20%EB%B3%B8%EB%9E%98%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%5C%5C%20y%3D-%5Cfrac%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%7B%202%20%7D%2B%5Cfrac%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%7B%204%20%7D%3D-%5Cfrac%20%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%7B%204%20%7D%20





매우 간단한 풀이죠 사실상 미분방정식 같지도 않은 간단한 풀이입니다.






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