권찡's 공학이야기

이전 장에서 선적분과 면적분에 관해 정리했으니, 복소함수의 선적분을 정리해보죠. 사실 복소수라고 할지라도 일반적인 적분에는 차이가 없다고 말했습니다. 가령 예를 들면 이런식으로 일반적인 적분은 복소수가 들어갔다고 해서 바뀌지 않습니다. 어떤 경로에 대한 선적분 역시 복소평면에서 이뤄진다고 한들 개념이 바뀌는것이 아닙니다. 위식 역시 단순히 매개변수에 대해서 적분을 변환시킨것으로 실수평면에서도 동일하게 할수 있습니다. 경로에 따라서 선적분의 값이 바뀐다는것은 선적분을 설명할때 했던 이야기죠.마찬가지로 복소수의 선적분 역시 동일합니다. 일반적인 함수 형태중에 미분은 가능하지 않으나 연속인 함수가 있습니다. 뾰족하게 꺽이는 형태의 그래프가 그려지는 함수 역시 선적분은 가능하죠 이런 곡선은 조각마다 매끄러눈 곡..

복소수에 대한 선적분과 면적분을 하기 전에 선적분과 면적분에 대해 개념 정리를 하겠습니다. 이 내용을 모른다면 복소수에 대한 적분을 이해하기 힘들 것이기 때문에 정리하고 지나가겠습니다. #선적분 먼저 선적분에 앞서서 아래의 개념을 되짚어 봅시다. 이 개념은 물리학 초반에 나오는 개념으로 대부분의 공학도 아니 이전에 고등학교를 졸업했다면 들었을 내용이죠 출발점에서 도착점까지 가는 경로는 사실상 무한대에 가깝습니다. 돌아가도 되고, 바로 직선으로 가도되고, 마음대로 가도 되죠. 이런 경로의 개념이 선적분에서는 중요합니다. 반대로 도착점에서 출발점으로 돌아온다면 - 를 붙여서 나타내기도 하기때문에 벡터의 개념과 비슷하다고 볼수있죠 이런 경로에 따라서 선적분을 하게되면 대부분의 경우는 경로에 따라 값이 다르게 ..

이번장은 해석함수에 대해 알아보겠습니다. 먼저 해석적 이라는 말의 의미를 알아야겠죠. 간단히 말하자면 복소함수f가 임의의 복소수 z에 대해서 미분가능하면 해석적이라 합니다. 영어로 analytic 이라합니다. 수학에서 해석함수는 국소적으로 수렴하는 멱급수로 나타낼 수 있는 함수를 말합니다. 이 말은 임의의 한 z 근방에서 테일러 급수가 수렵하는 것과 같은 의미이고, 정의역 D의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석적이라 합니다. 복소수라해서 미분가능의 의미가 바뀌는 것은 아닙니다. 만약 모든 복소수에 대해서 미분가능하다면 전해석 또는 완전해석이라 합니다. 이를 판별하기 위해서는 아래의 코시 리만 방정식을 사용합니다. #코시 리만 방정식 즉, 위 방정식이 성립하면 복소함수f는 해석적이라 할수 있습니다. 좀 더..

복소수 역시 실수와 마찬가지로 함수가 존재합니다. 이번장은 이런 복소함수(complex function)에 대해서 알아봅시다. 가장 알기 쉬운 원부터 해보죠. 복소평면 상의 원은 아래와 같은 방식으로 표현합니다. 이때 z0는 임의의 복소수입니다. 절대값이 취해져 있으니 r은 크기가 되겠고, 이는 거리(반지름)을 나타내죠. 가장 쉬운 예를 하나 들어보죠 처음 원에 대해서 배울 때 혹은 원 좌표계에 대해서 배울 때 위와 같은 표현 방식을 알게되죠. 그렇다면 위 수식을 부등식으로 바꾼다면 어떻게 될까요? 이 말은 위 복소평면상에 나타난 원의 내부를 말하게 됩니다. 부등식이 1을 포함하지 않기 때문에 위 원의 테두리는 포함되지 않습니다. 이를 개원판(Open Disk)라 합니다. 반대로 1을 포함하고 있다면 닫..

이번장부터 복소수에 관해 알아봅시다. 복소수는 실수와 허수의 결합으로 이뤄진 수를 말합니다. 실제 허수는 존재하지 않는 가상의 수 개념이지만, 허수는 이후 공학분야에서 많이 쓰이고 있으며, 이전에 배운 푸리에 변환 라플라스 변환 역시 허수의 개념이 있었습니다. 위와 같은 수 체계를 복소수라 하며 x를 실수부, y를 허수부라 합니다. 만약 복소수z로 이런 실수부와 허수부를 나타내는 기호가 있습니다. Re : real / Im : imaginary 의 의미로 각각 실수와 허수를 나타내죠. 사실 복소수라하여서 기본적인 실수와 연산 차이가 있는 것은 아닙니다. 이후 몇가지 차이는 있으니 기본 같죠. # 사칙연산 이런 기본 사칙연산은 고등학교때에도 배우기 때문에 따로 설명은 필요하지 않을 것 같네요. #공액(켤레..

이전장에서 연속시간함수의 푸리에 변환, 이산시간함수의 푸리에 변환에 대해서 알아봤습니다. 실제 이런 푸리에 변환을 손으로 계산하는 것은 학생때 직접하겠지만, 실제 엄청난 양의 데이터를 손으로 직접 계산한다는 것은 굉장히 힘들고, 무리입니다. 또한 컴퓨터에서 이런 계산을 대신하기 위해서는 신호가 이산적이어야 합니다. 즉 DTFT가 사용될것 같지만 아래 그림에서 보는 것과 같이 비주기적인 이산함수를 푸리에 변환하면, 연속 주기 스펙트럼이 나타납니다 컴퓨터에서 연속적 신호는 정보량이 굉장히 많기 때문에 오래걸리기도 하고 효율이 좋지 못하겠죠 때문에 샘플링을 추가해서 DFT(Discrete Fourier transform) 을 해야 됩니다. 즉 , DFT란 시간영역의 이산 함수를 주파수 영역의 이산 함수로 변환..

대각화는 이후 선형대수 및 다른 공학에서도 중요하게 다뤄지는 백터공간을 알기 위해서 알아야하는 개념입니다. 간략하게 먼저 설명을 하자면, 임의의 정사각행렬 A가 대각행렬과 닮은 행렬일 때, 이 행렬은 대각화 가능하다고 말합니다. 여기서 대각행렬이란 대각원소이외에 전부 0인 행렬을 말하죠 위의 행렬은 행렬식을 구하기 매우 쉽습니다. 행렬식의 값이 모든 고유치의 곱이기 때문이죠. 대각화 가능하다는 말은 무슨 말일까요? 대각화가 가능한 행렬은 조건이 있습니다. 이른바 대각화 가능한 행렬이 될 필요충분조건은 A(n x n)가 서로 일차독립은 n개의 고유백터를 갖는것이 필요충분조건입니다. 좀더 쉽게 말하면 서로다른 고유치를 갖게 되면 대각화가 가능합니다. 조금 다르게 설명하면 n by n 정사각행렬에 대해서 고유..

행렬을 다루는데 가장 많이 사용되는 것이 고유값 및 고유백터가 아닌가 합니다. 간단히 개념을 설명하라면 어떠한 정사각 행령에 영이 아닌 적당한 열백터를 곱한 결과가 그 열백터의 스칼라 곱과 같아질 때 해당 열 백터를 고유백터라 합니다. 식으로 표현하면 아래와 같죠 여기서 람다는 스칼라, X는 고유값으로 이뤄진 행렬입니다. 이렇게 설명하면 이해하기 어려우니 예를 들어보겠습니다. 이와 같은 행렬이 있다고 해봅시다. 위에서 A에 해당하는 행렬이 되겠죠. 위의 정의 식을 조금 변형해보겠습니다. 여기서 행렬 X 를 찾아야 합니다. 구하는 과정은 1. 특성다항식 det(A-ㅅI)를 구한다. 2. 특성다항식의 값이 0이 되는 람다를 구한다. 구해진 람다 값은 고유치가 된다. 3. 각각의 고유치에 대응하는 연립방정식을..

linear algebra 에서 첫번째로 다룰 내용은 행렬인데, 기본적인 행렬의 특징은 중학교인가, 고등학교인가 처음 행렬을 배울때 했던 내용이니 그것을 다시 하진 않겠습니다. 기본상식으로 깔고 갑니다. 먼저 제가 알려 드릴 내용은 transpose 와 trace의 개념입니다. transpose는 행과 열을 바꾸는 것입니다. 기호는 행렬에 윗첨자로 T로 쓰는데, 예시를 보면 이해가 가실 것입니다. 즉 1행 1열 , 2행 2열, 좀더 큰 행렬이라면 3행 3열 , 4행 4열 의 원소를 기준으로 바꾸는 연산을 말합니다. 정사각형 행렬이 아닌 경우는 와 같이 되는 것입니다. 또 한가지 방금 말한 1행 1열, 2행 2열의 원소 들을 보고 대각 원소라고 하면 trace는 이런 대각 원소들의 합을 말합니다. 기호는 ..

공학에서 푸리에 급수, 적분, 변환이 어떻게 적용되는지 알아봅시다. 간단하게 이전에 한 내용을 리뷰해봅시다. 편미분 방정식의 해가 푸리에 급수로 표현되고, 이런 푸리에 급수는 아래의 식을 가진다고 했죠 각각의 계수는 였습니다. 세부적으로 언급한 것은 링크달은 곳에서도 이미 설명했습니다. 급수를 변환으로 바꾸는 것은 오일러 공식을 통해서 변환했습니다. 이 식을 이용해서 위의 푸리에 급수를 지수함수로 표현하면 이런식으로 바뀌었고, 푸리에 적분과 같이 뮤로 고친후 구간확장을 하게 되면 되었습니다. 딱 여기까지는 수학적 도구로써 설명입니다. 이제 공학에서 갖는 물리적 의미를 부여 해봅시다. 나중에 기계공학에 대해서 정리할때도 나오겠지만, 진동학,열전달 등등에서도 푸리에 변환이 이용되고, 전자공학에서는 신호의 분..