권찡's 공학이야기

이후 푸리에 변환 혹은 다른 변환 등등 여러가지 경우 더 나아가 선형대수에서도 적용되는 이야기를 하고 넘어갑시다. 설명 드릴 내용은 수학에서, 아니 어쩌면 공학계열 통틀어서 수학을 빼놓을순 없으니, 공간 space의 개념을 설명하고자 합니다. 선형대수 관련 내용이 나오지만 자세한것은 선형대수에서 정리하도록 하죠 벡터의 개념은 다들 아실 것입니다. 물리를 조금만 해봐도 알겠지만 벡터와 스칼라가 다른것은 알고 계실 것 같네요. 그... 무슨 광고에서 커플인데 여자친구가 인생은 속도가 아니라 방향이다 라고 하니, 남자친구가 이과 계열인지 속도는 벡터 값이니 방향을 포함하고 있다, 뭐 그런식의 광고를 본적이 있습니다.ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 이과계열이라서 이런거 그냥 못지나가는 성격이긴 하지만.. 어쨌든 벡터라는 개념..

푸리에 변환 역시 이전에 한 푸리에 급수를 적분으로 변환한 것과 비슷합니다. 어쩌면 라플라스 변환같은 변환식인것이지요. 하나의 예를 들자면 시간축으로 표현된 함수를 주파수축으로 표현하기 위해서 푸리에 변환을 사용하기도 합니다. 푸리에 변환은 급수를 오일러 공식을 통해서 변환합니다. 오일러 공식이 무었이냐? 위와 같은 공식을 오일러 공식이라고 합니다. 이식은 매클로니 급수를 통해서 증명이 가능합니다. 기본적인 매클로니 급수를 보여주면 위 메클로니 급수를 오일러 공식에 대입해면 오일러 공식이 성립하게 됩니다. 그렇다면 오일러 공식을 통해서 삼각합수를 표현할수도 있습니다. 이런 오일러 공식을 통해서 이전에 푸리에 급수를 표현할 수 있습니다. 잘 이해가 안되는 분들을 위해서 설명을 하면 자 다시 본론으로 돌아와..

푸리에 급수와 주기함수에 대해서 알고 있어야 푸리에 적분을 이해하실수 있습니다. 이전 푸리에 급수를 다룰때 -L

편미분 방정식의 경계값 문제를 다뤄보기 전에 몇가지 조건에 관하여 알고 넘어 갑시다. 보통 경계값 문제는 어떤 경계조건이 같이 주어져 확실한 답을 내릴수 있게 해줍니다. 이때 경계에서 만족시켜야할 조건을 Boundary condition이라고 하며 보통 3가지 유형이 존재합니다. 1)디리클레 조건 2)노이만 조건3) 혼합조건 위와 같은 3가지 조건을 나눠서 분류하긴 하지만 그 명칭을 외울 필요는 없다고 봅니다. 어떻게 이런 조건을 잘 활용하느냐가 중요하겠죠. 편미분 방정식 처음 포스팅할때 공학에서 많이 사용하는 편미분 방정식이 있었습니다. 열전도 방정식,파동방정식,라플라스or푸아송 방정식 등등 #열전도 방정식 이중에 열전도 방정식을 알아봅시다.(공학수학이니 공학에 관한것을 빼고 넘어갈수가 없네요) 이 열..

먼저 편미분 방정식을 상미분 방정식보다 복잡하기 때문에 정해진 풀이법이, 즉 대수적 풀이법이 많지 않습니다. 그렇지만 유명한 것이 변수분리법, 방정식이 선형이라면 구한 미지함수들의 무한합으로 모든해를 구하는 경우가 있습니다. 이전에 상미분 방정식을 다룰때 역시 변수분리법으로 푸는 법을 배웠습니다. 편미분 방정식도 이런 방법으로 풀수 있는 유형이 존재 합니다. 예로 편미분 방정식의 해가 u(x,y)로 x와 y의 함수로 나온다면 u(x,y)=f(x)f(y) 형태의 해를 찾는 것을 말합니다. 만약 위와 같이 변수분리법으로 풀리는 문제라면 위와 같은 분리해를 찾고 분리해를 갖는 분리 가능한 방정식을 찾는 것이죠 위의 설명이 이해가 안가실수 있으니 예를 들어보겠습니다. 위의 람다값은 분리상수라고 말하고 최종적으로..

편미분 방정식을 다룰 차례가 됬습니다. 편미분 방정식은 공학수학 처음에 미분방정식의 개념을 설명하면서 같이 설명했었습니다. 상미분방정식을 할줄 안다면 편미분 방정식도 쉽게 알수 있습니다. 일반적인 편미분 방정식의 형태를 보면 위의 편미분 방정식은 제차의 형태입니다. 이전의 제차와 비제차의 개념과 동일합니다위의 알파벳 ABCDEFG는 각각 이변수 함수입니다. 위 의 편미분 방정식이 일반식이됩니다 우변에 G가 존재해서 비제차가 된다면요 공학에서 많이 사용하는 편미분방정식은 뭐가 있을까요? 위의 4개의 식은 아마도 공학을 전공한 분이시라면 어디서든지 한번 봤을 식입니다. 편미분 방정식 역시 중첩의 원리가 통합니다. 해들간의 일차 결합 역시 해가 되는 것이죠 PDE에 관해서 기존 ODE에 비해서 중요해지는 개념..

수학에서 푸리에 급수는 어떠한 주기함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수를 말합니다. 이런 급수화 하는 이유는 본래 함수보다 다루기 쉽게 때문입니다. 푸리에 급수는 전자공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호처리, 화상처리, 데이터 압축 등등 공학의 많은 분야에 쓰이고 있습니다. 많은 사람들이 어려워하는 내용이니 만큼 제 나름대로 최대한 쉽게 쉽게 정리.설명하려 하겠습니다. 이전, 편미분 방정식의 해를 푸리에 급수로 표현한다고 말했었습니다. 어떻게 생겨먹은지 보면 아래와 같은 형태입니다. 일단 푸리에 급수 설명에 들어가기에 앞서 이전에 정리한 직교함수의 개념을 가져오겠습니다. 만약 서로 다른 2개의 함수가 있다고 가정해보겠습니다. 이 2개의 함수는 서로 직교하지 않습니다. 그러나 어떠한 함수를 곱해서 서..

공학에서 거의 필수로 사용되는 것이 푸리에 해석학(Fourier analysis)입니다. 알고 있던 개념과 비교해보면서 푸리에 급수,적분 등등 을 정리하도록 하겠습니다. 먼저 이전에 성형 상미분 방정식의 해를 멱급수 형태로 나타낼수 있었습니다. 이런 멱급수해법은 공학수학 part에서 따로 정리하기도 했었습니다. 그렇다면 상미분 방정식이 아니라 편미분 방정식의 경우는 멱급수로 풀이가 가능할까요??? 아닙니다. 편미분 방정식은 다른 유형의 급수인 푸리에 급수를 사용해서 해법을 정의합니다. 이런 퓨리에급수및 편미분 방정식은 공학에서 여러분야에서 응용되고 있습니다. 이러한 푸리에 해석학을 하기전에 직교함수의 개념을 먼저 알아봅시다. #직교함수란 무엇인가?? 한가지 오해할수도 있을것 같아서 먼저 집고 넘어가면 어..

이전 단위 계단 함수를 헤비사이드 함수라고 부르기도 한다는 것을 말했었습니다. 이러한 함수는 불연속점을 상당히 많이 가지고 있는 함수입니다. 만약 함수의 그래프 형태가 주기함수 형태를 띄고 있다면 모두 단위 계단 함수로 바꾸고 라플라스 변환을 취해야 할까요? 아닙니다. 뭐 주기함수의 형태에 따라 구형파, 정현파, 등등 여러가지 가 있지만 라플라스 변환을 구하는 식을 모두 거의 동일 합니다. 일단 주기함수의 라플라스 변환식을 보면 아래와 같습니다. 위식의 증명은 일정주기까지 라플라스 변환과 무한대 까지 라플라스 변환을 나눠서 식을 정리하다보면 나오게 됩니다. 한가지 예를 들어서 위식을 적용해봅시다.가장 대표적인 주기함수는 삼각함수도 포함되어 있죠 sin함수를 먼저 예를 들면 위와 같이 주기함수의 라플라스 ..

라플라스 변환에서 빠질수 없는 것이 convolution입니다. 이 연산은 이후 아주 많은 부분에서 응용될 것이고, 공학에서 아주 기본적인 연산중 하나입니다. 일단 합성곱 정리를 보면합성곱의 경우 일반적인 곱셈인 X와 달리 * 표시를 해서 표시합니다. 위 정리를 보면, t함수의 합성곱은 라플라스 변환할시 s함수의 일반적인 곱합성곱 역시 일반적인 곱셉과 같이 교환조건, 분배조건 역시 성립합니다. 예를 들어서 convolution 를 알아보겠습니다. 합성곱의 정의를 잘 생각해 보면 간단히 풀릴 문제이군요 합성곱을 사용할때 주의할점은 t 함수끼리의 합성곱인 라플라스 변환을 통해 s함수의 일반곱으로s함수끼리의 일반곱은 라플라스 역변환을 통해 t 함수의 합성곱이 되는 것입니다.