라플라스 변환(미분.적분형태)-제2 변이 공식

지난 장 라플라스변환 제 1변이 공식까지 알아봤습니다. 라플라스 변환의 가장 기초적인 부분이었습니다.

이번에는 조금 특이한 형태부터 시작해봅시다.

라플라스 변환에 만약 t의 n승 함수가 다른 함수와 같이 있을 경우 또한 제1변이 공식 같이 더욱 간단히 풀수있는 방법이 있습니다.

공식은 다음과 같죠

즉 t의 차수에 따라서 미분을 취하는 경우입니다.

예를 들면 바로 이해 하실 것입니다.

위 공식과 제 1변이 공식역시 둘다 중복해서 사용가능합니다.

반대로 변환할 함수 내에서 1/t가 존재 할때는 적분을 취하는 것입니다.

  이런 형식으로 적분을 취할수 있습니다.

역시 예를 하나 들어보죠

이렇게 변환할 함수에 t 나 1/t가 있을 경우 위와 같은 연산을 통해서 쉽게 풀어낼수가 있습니다.

위 경우의 반대로 역변환의 경우를  보면 어떻게 해야 할까요???

역변환의 경우를 볼때 역변환할 함수의 미분 적분의 형태가 역변환하기 편할지 생각해 보는 것이죠

방금전 문제를 예로 역변환을 취해 봅시다.

반대로 내부의 함수가 적분을 취해서 역변환하기 편해진다면 내부함수를 적분하고 마지막에 -t를 붙이는 것입니다.

조금 어렵게 느껴질수도 있겠지만, 익숙해지면 매우 편한 방식입니다.

라플라스 연산시 내부의 t함수의 차수에 따라서 변환된 s함수에 미분을 할지 적분을 할지를 정하는게 위의 내용이라면 

기본적인 함수에 적분이나 미분이 취해져 있을 경우도 존재합니다. 앞선 내용의 연장선이 되겟네요.

 

위와 같이 내부에 적분 형태가 들어 있는 경우 입니다. 만일 그냥 풀어 낸다면 적분을 취하고 다시 변환을 하고 오래 걸리는 작업입니다.

위와 같은 0에서 t까지 적분이 있을 때 라플라스 변환의 결과를 외우면 아주 편하죠

즉 내부에 적분을 1/s로 바꿀수 있습니다.   역변환의 경우도 생각해볼수 있죠 내부에 1/s가 있을 때 마지막에 적분 연산취하는 것이죠

식으로 표현하자면

예를 들어서 위 공식을 알아 봅시다.

위 변환공식을 알고 있다면 어느정도 라플라스를 하는데 문제는 없을 것입니다

이제 본격적으로 제2 변이 공식을 알아보죠,

제 2 변이 공식은 단위계단 함수와 관련이 있습니다.

아래와 같은 함수를 단위 계단 함수라고 합니다.

unit의 u를 표기한 함수로 일정한 점 이하의 좌표에서는 0, 이후에는 1의 값을 갖는 함수를 말합니다.  공학을 전공한 사람이라면 이미 알고 있을 함수이기도 합니다. 헤비사이드 함수라고도 합니다. 전기공학이나 다른 분야에서도 많이 다루죠

시간 t에 관해서 정의된 함수로 다뤄집니다.

위와 같이 정의된 함수입니다.

만약 밑의 그래프를 unit step function으로 표현하면 어떻게 표현해야 할까요

먼저 그래프를 해석해보면 t가 1인 점에서 2의 값을 가지다가

t가 3에서 -1값으로 떨어집니다.

t=4일때는 1의 값을 가집니다.

이러한 단위 계단 함수를 라플라스 변환은 어떻게 될까요

이런 단위 계단 함수가 다른 함수와 같이 있을때 정의 되는 것이 제2 변이 공식입니다.

#제2 변이 공식

제 2 변이 공식은 위와 같이 정리 됩니다.

이 공식을 예로 적용해 봅시다.

단위 계단 함수가 라플라스 변환 밖으로 나올때 지수함수 형태로 나오고 내부의 함수를 평행이동 시켜주는 것이지요

한가지 예를 더 들어서 풀어 보겠습니다. 난이도를 높여서

이와 같이 단위 계단 함수와 함수가 같이 존재 할때 위와 같이 변환하는 방법이 제2 변이 공식입니다.

조금만 더 진도를 빼봅시다.

          

분자에 지수함수꼴로 2변이 공식을 썼을때 나타나는 지수함수가 보입니다.  이때 역변환은 어떻게 취해야 할까요????

 

이렇게 적용시킬수가 있습니다 제 2변이 공식의 역변환이죠

단위 계단 함수를 배운김에 디락의 충격파 함수를 배워 보죠

# 디락의 impulse function(디락 델타 함수)

충격파 함수는 아래와 같이 정의 합니다.

즉 어느 일정 점에서 갑자기 팍 하고 튀어오르는 듯함 형태의 함수입니다.

쉽게 상상이 안갈수도 있는 함수 입니다. 위 함수는 통신 공학이나 여러 분야 에서 실제로도 많이 쓰이는 함수죠 

단위 계단 함수는 어느 일정 점을 지나면 값을 계속 가지는 반면 위 충격파 함수는 미소 시간에 한번의 튀어오르는 듯한 함수 형태입니다.

이런 임펄스 함수에 의해서 계단 함수를 정의 할수도 있죠 : 

따라서 단위 계단 함수의 미분이 임펄스 함수라고 볼수 있습니다.

위의 설명은 딱 임펄수 함수가 존재하는 구간에 적용되는 말입니다.

이런 충격파 함수를 라플라스 변환하는 것은 어떠한 형태를 가질까요?????????

 이와 같이 단위계단 함수와 비슷하나 분모에 s를 가지고 있지 않은 형태가 디락 델타 함수의 라플라스 변환 형태입니다.

이런 델타 함수나 단위 계단 함수는 여러 분야에서 쓰이는 함수이므로 필히 알아 둡시다.