미분방정식의 라플라스 변환

본격적으로 미분방정식에 라플라스 변환을 적용시켜봅시다.

가장 먼저 알아야될 내용은 아래 내용입니다.

t에 관한 함수 y를 미분 했을시 위와 같은 형태로 나열됩니다.

보면 2번 미분한 함수를 라플라스 변환하였는데, 변환된 s함수의 최대 차수가 미분한 횟수와 같습니다.

만약 1번 미분한 함수를 변환할시에는 

 

이런 식이 되는 것입니다.

이를 이용해서 간단한 미분 방정식을 풀어보겠습니다.

 

위 미분 방정식을 푸는 것은 간단합니다.

앞서 정리한 homogeneous해와 particular해를 구하는 방법으로 구하면 됩니다.

특성방정식을 이용해 homogeneous해 , 특수해를 원하는 방식으로 구할수 있죠 

그렇지만 라플라스 변환을 하게되면 더 쉽게 풀수 있습니다. 

또한 일반적인 풀이법에 해당하지 않는 미분방정식의 경우, 라플라스 변환으로 풀릴수도 있습니다.

직접 한번 풀어보겟습니다.

초기 값이 주어졌을때 보다 간단히 해를 구할수 있습니다.

중간에 연습한다고 삼천포로 빠져서 그렇지 분수 형태로 나누고 나서 하시면 가장 편합니다.

좀 더 내용 심화를 해서 이변수 함수의 라플라스 변환에 대해서도 알고 넘어갑시다.

예를 들어봅시다.

위 내용과 같이 변수가 t에 관해 미분되어있는 경우만이 이전의 미분된 함수의 라플라스 변환 공식에 따르게 되고,

 x에 관해 미분되있을 경우는 영향을 주지 못합니다.

이런 이변수함수 혹은 다변수 함수의 라플라스 변환은 편미분 방정식을 푸는 하나의 툴로써 사용되니 알아두면 좋겟죠