eigenvalue(고유값), eigenvector(고유백터)

 행렬을 다루는데 가장 많이 사용되는 것이 고유값 및 고유백터가 아닌가 합니다. 

 

간단히 개념을 설명하라면 어떠한 정사각 행령에 영이 아닌 적당한 열백터를 곱한 결과가 그 열백터의 스칼라 곱과 같아질 때 해당 열 백터를 고유백터라 합니다. 

 

식으로 표현하면 아래와 같죠

 

여기서 람다는 스칼라, X는 고유값으로 이뤄진 행렬입니다.

 

이렇게 설명하면 이해하기 어려우니 예를 들어보겠습니다.

이와 같은 행렬이 있다고 해봅시다. 위에서 A에 해당하는 행렬이 되겠죠. 위의 정의 식을 조금 변형해보겠습니다.

여기서 행렬 X 를 찾아야 합니다. 

구하는 과정은

1. 특성다항식 det(A-ㅅI)를 구한다.

2. 특성다항식의 값이 0이 되는 람다를 구한다. 구해진 람다 값은 고유치가 된다.

3. 각각의 고유치에 대응하는 연립방정식을 풀어 고유백터를 구한다.

 

로 정리할 수 있습니다.

위 A행렬의 고유치는 -2, 5가 되는 것이죠. 각각의 고유치를 대입하여 연립방정식을 풀어보면 관계상이 나오는데 해당 관계쌍을 만족하는 값이 고유백터가 되는 것입니다.

 

계산의 간편화를 위해서 고유백터는 하나의 원소가 1이거나, 가장 기본이 되는 형태로 하는 것이 좋습니다. 

 

이제 고유치/고유백터의 성질에 대해서 알아보죠

 

앞서 정리한 내용과 더불어 부연 설명을 해보자면

 

1번 성질은 전치를 시켜도 고유치가 변화하지 않는 것을 말합니다. 단 고유백터는 변할 수 있습니다.

 

2번 성질은 삼각행렬의 대각원소가 고유치를 나타낸다는 의미입니다. 이 내용과 같이 5,6번 성질이 대각원소의 합이 고유치의 합과 같고, 곱이 행렬식 값이 된다는 것을 말합니다. 고유치가 0이 존재한다면, 고유치의 곱이 0이 되므로 행렬식 값이 0이 됩니다. 이는 역행렬이 존재하지 않는 조건과 같습니다. 따라서 고유치에 0이 존재하면 해당 행렬은 역행렬이 존재하지 않습니다.

 

쉽게 이해되지 않는 내용이 대각행렬과 직교행렬의 고유치 성질인데, 직교행령은 고유치가 항상 1 혹은 -1 입니다. 따라서 직교행렬의 고유치의 곱(행렬식 값)은 1 or -1이 성립하죠. 또한 직교행렬은 행,열 간에 서로 내적을 취하면 0이 되는 직교성질을 가집니다.

 

대칭 행렬의 경우는 행과 열이 직교하는 것이 아니라, 고유백터끼리 직교성질을 가집니다. 이를 조금 달리 말하면, 대칭행렬의 고유백터는 직교행렬이 된다는 의미이기도 합니다.

 

7번 성질은 식으로 보여주는 것이 좋겠네요.

이런 형태로 행렬 자체도 식이 성립한다는 의미입니다.

 

8번 성질은 아래와 같습니다.

 

이처럼 고유치나 고유백터로 앞서 행렬의 기본이 되는 내용을 모두 통합할 수 있습니다. 고유치에 0이 있는지 없는지에 따라 역행렬이 가능한지, 행렬식 값, trace와 고유치간 관계등등 많은 내용을 고유치와 고유백터로 알수 있습니다.

 

다음장은 이런 고유값을 이용하는 대각화에 대해서 알아보겠습니다.