대각화

 대각화는 이후 선형대수 및 다른 공학에서도 중요하게 다뤄지는 백터공간을 알기 위해서 알아야하는 개념입니다.

 

간략하게 먼저 설명을 하자면, 임의의 정사각행렬 A가 대각행렬과 닮은 행렬일 때, 이 행렬은 대각화 가능하다고 말합니다.

 

여기서 대각행렬이란 대각원소이외에 전부 0인 행렬을 말하죠

위의 행렬은 행렬식을 구하기 매우 쉽습니다. 행렬식의 값이 모든 고유치의 곱이기 때문이죠.

 

 

대각화 가능하다는 말은 무슨 말일까요? 대각화가 가능한 행렬은 조건이 있습니다.

 

이른바 대각화 가능한 행렬이 될 필요충분조건은 A(n x n)가 서로 일차독립은 n개의 고유백터를 갖는것이 필요충분조건입니다.

 

좀더 쉽게 말하면 서로다른 고유치를 갖게 되면 대각화가 가능합니다.

 

 

조금 다르게 설명하면 n by n 정사각행렬에 대해서 고유백터를 열백터로 배열해어 만든 가역행렬 P에 대해서 

이 대각행렬이 되는 것입니다. 위 식으로 만들어지는 행렬 대각행렬 D A행렬과 닮은 행렬입니다.

 

 

말로 설명하는 것보다 예시를 보여주는 것이 이해가 빠르겟죠.

이 행렬의 고유값을 구하면 1, 2가 나옵니다. 이에 대응된느 고유백터는 각각 아래와 같죠

따라서 P행렬은 

가 되고 대각화 식에 대입하면

이때 A행렬과 D행렬은 닮은 행렬이라 하며, A를 대각화 시킨 행렬이 D행렬이기도 합니다. 이 닮은 행렬은 신기하게도 고유치가 같게 되고, 행렬식도 같으며, Rank값도 같습니다. 단 고유백터는 같지 않죠.

 

이런 대각화에 관한 문제를 하나 풀어보죠

 

A가 위와 같은 행렬일 시 A^100을 구하라는 문제를 풀어보죠

 

노가다로 해보면 아래와 같이 해야겠죠

이 방법을 통해 규칙성을 찾고 예측하는 방식입니다. 

 

대각화를 이용한다면 아래와 같습니다. 위 대각화 식을 변형하면

가 되기 때문에 100제곱을 해봅시다.

이렇게 풀게 됩니다. 

 

 

앞선 장에서 설명한 대칭행렬에 대한 대각화는 어떨까요? 대칭행렬은 항상 대각화가 가능하며, 특히 직교 대각화가 가능합니다. 3 by 3행렬을 예로 봅시다.

보이는 것과 같이 대칭행렬입니다. 위 행렬의 고유치를 구해보면 1, 3, -1이 나옵니다.

서로 다른 고유치가 나오는 것을 확인할 수 있습니다. 즉, 대각화가 가능합니다. 각 고유치에 따른 대각행렬을 구해보면

 

따라서 P행렬은 아래와 같습니다.

각 행의 내적을 해보면 0이 나옵니다. 직교행렬이 되는 것이죠. 대칭행렬의 고유백터 행렬은 직교행렬이 되는 것을 볼수 있죠. 대각화된 행렬을 구해보면 아래와 같습니다.

 

 

어느정도 대각화의 개념을 잡았을 것이라 생각합니다. 추가적으로 2차 형식과 양정치에 관해 알아봅시다.

 

아차형식은 예를 들면 아래와 같습니다.

위 식을 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

이 행렬을 기호화시켜보면 

 

 

와 같이 표현할 수 있습니다. 이 것을 이차형식이라 부르며  V행렬의 크기가 1일시 이차형식의 최대, 최소는 각각 A의 고유치 최대, 최소와 같고 V는 단위 고유백터가 됩니다. 이때 0이 아닌 모든 V에 대해서 아래 식이 성립하면 양정치라 합니다.

단, 조건이 있습니다.

 

이것을 이용해 할수 있는 문제를 한번 풀어봅시다.

위의 문제같은 경우에 활용해 볼수 있습니다. 위식을 2차형식으로 표현하면 

이때 가운데 행렬 A의 고유치를 구하면 20, -5가 나옵니다. 즉 아래와 같이 근사해볼 수 있습니다.

아실 내용이지만, 2차항의 계수가 부호가 다릅니다. 이는 쌍곡선 형태를 띄죠.

 

 

좀더 난이도를 높여보면

 

 

이경우 이차형식을 이용해서 어떻게 판별할수있을까요?

 

위와 동일하게 A행렬을 구해보면

 

이것의 고유치는 5,10이 나옵니다.

 

 

이때 일차항들을 단순히 놓을수가 없는데

 

 

 

이렇게 풀수가 없습니다.

 

 

 

뭔가 추가가 되야하는데

 

 

 

이때 P행렬은 앞서구한 A행렬의 단위 고유백터가 되야 됩니다.

 

 

고유백터를 구하면

 

 

 

에잉  고유치 10에 대해서 고유백터를 잘못 잡았네요.

 

행렬식 값이 1이 되기 위해서 조금 바꿔봅시다.

 

 

 

 

이제 행렬식이 1이 성립이 되네요

 

 

이것을 위 행렬에 대입해봅시다.

 

 

 

타원이 됬네요.

 

 

 

 

뭐 이런식으로 사용하는 것입니다. 많이 간추린 내용입니다. 2차형식에 대해서 더 알고 싶다면 위키백과를 찾아보면 됩니다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%EC%B0%A8_%ED%98%95%EC%8B%9D

 

다음장은 그람-슈미트 직교화에 대해 알아보겠습니다.