Complex number(복소수) - basic편

이번장부터 복소수에 관해 알아봅시다. 

 

복소수는 실수와 허수의 결합으로 이뤄진 수를 말합니다. 실제 허수는 존재하지 않는 가상의 수 개념이지만, 허수는 이후 공학분야에서 많이 쓰이고 있으며, 이전에 배운 푸리에 변환  라플라스 변환 역시 허수의 개념이 있었습니다.

위와 같은 수 체계를 복소수라 하며 x를 실수부, y를 허수부라 합니다. 만약 복소수z로 이런 실수부와 허수부를 나타내는 기호가 있습니다.

 

 

Re : real / Im : imaginary 의 의미로 각각 실수와 허수를 나타내죠.

 

사실 복소수라하여서 기본적인 실수와 연산 차이가 있는 것은 아닙니다. 이후 몇가지 차이는 있으니 기본 같죠.

 

# 사칙연산

 이런 기본 사칙연산은 고등학교때에도 배우기 때문에 따로 설명은 필요하지 않을 것 같네요.

 

#공액(켤레) 복소수

 

이 개념은 허수부분의 부호만 바꾼 복소수로 보면 됩니다.

기본 공액복소수의 표시는 문자 위에 줄을 하나 그어 표시합니다. 

 

 

 

 

자, 이제부터 실수와 조금씩 다른 개념이 나옵니다.

 

#복소 평면

크게 어려운 개념은 아닙니다. 평면상의 한축이 실수, 또 다른 하나의 축이 허수인 평면을 복소 평면이라 합니다. 

이런 복소 평면의 개념은 크게 어렵지 않습니다. 이렇게 한축이 실수이며, 다른 한축이 허수인 것은 라플라스 변환 혹은 z변환 시 S평면,Z평면과 비슷합니다. 허수와 실수의 스케일을 어떻게 하느냐에 따라 다른 것이죠. 여기서 기본적인 개념을 잡고 가봅시다.

 

그렇다면 위 평면상의 복소수의 크기는 어떻게 구해야 할까요? 이는 간단합니다. 극좌표계와 동일하죠

여기서 좀 비중있게 다룰 내용은 편각입니다. 일반적으로 실수에 대해서는 각도가 크게 중요하지 않았습니다. 하지만 복소수로 넘어오게 되면 이런 편각이 중요해집니다.

이렇게 복소수를 극좌표계로 표현하면 복소수의 곱과 나눗셈에 대해서 간단하게 계산할 수 있습니다.

이렇게 극좌표를 표현하면 더 쉽게 계산되는 것이 하나 더 있습니다. 바로 드 무아브로 정리입니다. 이는 복소수의 n제곱과 같은 연산을 편하게 해주죠.

위의 n은 정수만 가능하다는 것이 위 정리입니다만 사실상 제곱근이나 세제곱근 같은 분수 형태도 얼마든지 가능합니다.

 

 

 

앞서 주편각이 중요하다고 했습니다. 왜 중요한지 바로 문제로 알아봅시다.

이런 문제가 있다고 해봅시다. 정답은 무엇일까요??????????????

답을 아래와 같이 했다면 복소수의 개념을 아직 이해 못한것입니다.

실수 1에 대한 세제곱근이라면 정답입니다. 그러나 복소수 1에 대해서 세제곱근이라한다면 오답입니다. 복소수1 이라면 아래와 같이 풀어야 됩니다.

이때 n에 따라서 서로 다른 값이 나오게 되죠.

즉, 복소수에 관해서는 주편각을 고려해야 합니다. 비슷한 예로 들면 아래와 같은 것이죠.