선적분과 면적분(Line integral, Surface integral)

복소수에 대한 선적분과 면적분을 하기 전에 선적분과 면적분에 대해 개념 정리를 하겠습니다. 이 내용을 모른다면 복소수에 대한 적분을 이해하기 힘들 것이기 때문에 정리하고 지나가겠습니다.

 

 

#선적분

먼저 선적분에 앞서서 아래의 개념을 되짚어 봅시다.

 

 

 

이 개념은 물리학 초반에 나오는 개념으로 대부분의 공학도 아니 이전에 고등학교를 졸업했다면 들었을 내용이죠

 

출발점에서 도착점까지 가는 경로는 사실상 무한대에 가깝습니다. 돌아가도 되고, 바로 직선으로 가도되고, 마음대로 가도 되죠.

 

이런 경로의 개념이 선적분에서는 중요합니다. 반대로 도착점에서 출발점으로 돌아온다면 - 를 붙여서 나타내기도 하기때문에 벡터의 개념과 비슷하다고 볼수있죠

 

 

이런 경로에 따라서 선적분을 하게되면 대부분의 경우는 경로에 따라 값이 다르게 됩니다.

 

 

 

 

위와 같이 (1,1)로 가는 2가지의 경로가 있을때 각각의 경로에 선적분을 취하면 일반적으로는 값이 다르게 나옵니다.

 

 

좀더 물리학적으로 들어가면 선적분은 일함수의 개념으로 힘 * 변위의 개념입니다. 즉

 

이때 변위는 경로를 뜻하며 대학수학에서 함수에서 곡선의 길이를 구하는 식으로 정의할수 있겠습니다.

 

 

이런 곡선의 길이가 변위를 뜻하는 것이죠 복소적분으로 넘어가기 위해서 눈여겨 볼것은 매개변수함수 입니다.

한가지 예를 들어서 변위를 구해봅시다.

 

 

 

위 처럼 일반적으로 알고 있는 함수의 형태가 나올수도 있지만 벡터함수 형태가 나올수도 있죠

 

 

위와 같은 백터 함수의 형태 역시 이후에 나올 내용을 위해서 필히 알아두어야합니다.

즉 i (x축 성분)이 함수의 형태로 나머지 역시 마찬가지 형태로 주어지는 경우입니다.

 

위와 같이 벡터함수로 표시된 F 함수가 선적분에서 힘을 뜻하게됩니다. 즉 경로와 힘이 있어야만 선적분을 할수 있다는 이야기가 됩니다.

 

 

 

물리파트에서 벡터해석학을 다루었을때 발산과 회전을 상기시켜보겠습니다. 간단하게 수식으로만 나타내겠습니다.

 

 

 

위의 2가지의 개념은 면적분이나 선적분을 하기 위해서는 알아야하는 개념이죠

 

 

이제 힘, 변위 모두 어느정도 정리한것 같습니다. 본격적인 선적분을 해봅시다.

 

선적분을해서 나온 결과는 일 이라는 물리적인 개념을 통해서  쉽게 이해하면 마라톤을 하는데 달리는 힘을 어떻게 하냐에 따라서 총 마라톤을 할때의 일의 양이 얼마냐라고 생각하면 될것 같습니다.

 

위에서는 1차원적으로 일을 정의했습니다. 즉 직선상으로 고려했기 때문에 경로의 개념이라기 보단 단순히 변위의 개념인것이죠

 

따라서 경로로 구불구불하거나 어떤 형태를 가질때 이 경로의 길이를 알기위해서 처음에 곡선의 길이 식이필요한 것이죠

 

 

수식으로 정리하면

 

 

위 설명은 3차원의 선적분이지만 이해를 위해서 2차원 평면상에  알기 쉬운 예를 하나 들어봅시다.

 

2차원 평면상에 직선을 선적분하는 것은 너무나도 쉬운 일이죠  그러나 공간상에 곡선의 경우는 적분을 이용해야하는것이죠

 

위에서 z=0이었지만 다르게 주어졌다면 혹 함수로 주어졌다면 , 평면상에 사영된 함수역시 곡선이라면 위처럼 단순히 구할수 없죠

 

그림을 예로 보면 이해할것입니다.

 

이그림을 보면 말로 설명한것을 이해하는데 무리가 없을것 같습니다.

 

노란선으로 그린 선이 사실상 경로에 해당하는 것이죠

 

 

 

선적분의 개념을 이해했다면 풀이법을 알아봅시다.

대표적으로 3가지의 풀이법이 있습니다.

매개변수로 바뀌서 단순 적분, 벡터장이 보존적일때 선적분, 곡선이 폐곡선인 경우

 

 

사실 매개변수로 대입해서 풀면 모든것을 풀수 있습니다만 경로나 힘이 복잡하게 주어진다면 매개변수로 하는데 무리가 있습니다.

 

직접해보면서 이해해봅시다.

 

 

# 매개변수로 선적분

 

z성분을 넣으면 좀 어려워 할것 같아서 일단 이것부터 합시다.

 

 

 

이런 방식으로 푸는것이 매개변수로 푸는 법입니다. 가장이해하기 쉽죠, 이 방법에서 중요한것은 매개변수를 잘 설정하는 것입니다.

 

단 이방법은 힘으로 주어지는 함수가 매개변수를 대입할때 쉽게 정리가 가능하면 이방법이 좋습니다만, 그렇지 않을 경우 식이 매우 복잡해지게 됩니다. 가령 힘이 

라고 한다면 매개변수를 집어넣어서 오히려 식이 지저분해집니다.

 

 

 

 

#힘(벡터장)이 보존적일 경우 선적분

 

이경우는 일단 보존적이라는 개념을 알아야 합니다. 이전에 전자기학이나 벡터 해석학때 보존적일 조건에 대해서 설명한적이 있었습니다.

 

이전장에서 복소함수에서 해석적이라는 의미와 동일한 의미로 미분가능의 의미입니다. 그러나 힘이 벡터 함수 형태로 주어졌다면 이를 확인하는 방법이 쉽지 않습니다. 혹시 미분방정식에서 완전미방의 조건이 생각난다면 그와 비슷한 조건을 가진다는 것을 알수 있습니다.

 

 

위의 3개의 식이 만족하면 힘이 보존적일 조건이 됩니다. 3개의 식을 전부 확인할 필요는 없습니다. 1개정도 해봤을때 되면 보통은 보존적이 됩니다만. 이건 어디까지나 학생때의 과정에서는 보통 교수님들께서 그렇게 맞춰서 낸거로, 필드 나와서 모델링을 해봤을시 아닐경우가

휠씬 많습니다.  뭐 이게 중요한건 아니죠.

 

 

일단 위식이 만족하면 완전미방에서 포텐셜 함수를 찾는것 처럼 포텐셜함수가 존재 합니다. 이 포텐셜함수에 관해서는 밑에 문제를 풀면서 다시 보죠

 

선적분에서 벡터장이 보존적일때를 왜 구분 지를까요?  그것은 바로 보통의 선적분의 경우는 경로가 중요해서 경로에 따라서 선적분값이 다르게 나오는 반면, 벡터장이 보존적일 경우 경로를 무시해도 됩니다. 즉 경로 무관성을 가지게 되는것이죠

 

 

선적분의 시작점과 끝점에 관해서 경로에 따라서 적분을 해야 하나 힘이 보존적일 경우 이를 무시하기 때문에 경로 따위는 신경안써도 되는 것입니다.

 

따라서 보존적인 벡터장을 가지는 선적분 문제를 하나 예로 이해를 해봅시다. 먼저 포텐셜을 구하는 방법입니다.

 

 

이렇게 포텐셜 함수를 구한 것이 보존적인 벡터장을 가지는 선적분의 해가 되는 것입니다. 본격적으로 보존적 벡터장을 가지는 문제를 하나 풀어보죠

 

 

 

왜 포텐셜 함수에 시작점과 끝점을 대입하는 것으로 보존적 벡터의 선적분을 풀수 있는지에 대한 증명은 하지 않겠습니다. 이 부분에 대한 증명이 길고 귀찮아서 쓰기 힘들어서 하기 싫습니다. ㅈㅅ

포텐셜이 존재할때 위처럼 푸는 것이 휠씬 간단합니다. 해보면

 

 

포텐셜이 존재할때 , 즉 벡터장이 보존적일때의 선적분은 위와 같은 풀이로 쉽게 풀수 있습니다.

 

 

 

 

#페곡선일 경우의 선적분

 

페곡면의 경우에도 적용되는 원리입니다. 이전에 전자기학에서 설명한적이 있는데 스톡스정리를 이용해서 푸는 방법입니다.

 

페곡면을 예로 들면

 

 

위와 같은 페곡면을 미소면적으로 쪼게서 선적분을 취하면 그 옆의 미소면적의 선적분과 방향이 반대로 서로 상쇄되어 없어지는 것을 뜻합니다.

 

스톡스 정리는 즉 위의 페곡면에 대해서 경계를 나타내는 페곡선의 선적분 값이  페곡면의  curl에 대한 면적분과 같다는 개념입니다

 

아직은 이해 못할수도 있으나 알아들을수 있는 사람은 알아 들을수 있죠. 그리 어려운 개념도 아닙니다.

 

 

 

3차원은 이해하기 힘들수도 있으니 2차원을 가지고 이야기 해봅시다.  원점을 중심으로 반지름이 2인 원을 상상해보면 됩니다.

 

 

이때 양의 x축 방향에서 양의 값을 갖는 방향 즉 반시계 방향으로 회전하는 경우를 양의 방향이라고 하고 시계 방향으로 도는 경우를 음의 방향이라고 합니다.

 

 

위 그림 처럼 굳이 원이 아니어도 됩니다.  시계방향이나 반시계 방향이나가 페곡선 페곡면에대해서는 중요합니다. 시계 방향으로 선적분한 값과 반시계 방향으로 선적분 한 값은 서로 부호가 반대이기 때문에 중요합니다.

 

이런 페곡선 혹은 페곡면에 대한 적분은 아래와 같이 표시합니다.

 

적분 기호인 인테그랄 중간에 원을 그리는 기호가 페곡선 혹은 페곡면에 대한 적분인것입니다.

 

 

페곡선에 대한 선적분 문제는 아마도 아래와 같이 주이지게 됩니다.

 

 

 

위의 벡터장 즉 힘이 혹시 보존적인가 확인해보면 아니라는 것을 알수 있습니다.

 

이런 경우 스톡스 정리를 사용해서 문제를 풀수 있습니다.  스톡스 정리를 통해서 어떻게 선적분을 하느냐는 말로 설명하면

 

페곡선에 대해서 선적분을 면적분으로 바꿔서 푸는 방법입니다. 이때 curl을 구하는 것으로 curl에 대해 면적분을 해서 값을 구하는 것입니다.

 

즉 페곡선 혹은 곡면에 대해서 아래의 식이 성립하게 되는 것이죠

 

벡터해석학을 알고 있다면 바로 이해할수 있으나 그렇지 못한분은 무슨소리인지 모를수도 있습니다. 그럴때 그냥 외우세요. 포스팅으로 설명하기 너무 힘듭니다.

 

 

간단히 말해서 평면상의 스톡스 정리, 즉 그린정리라고 하는데 직접 예를 통해서 풀어봅시다.

 

 

페곡선에 대해서 선적분을 하는 법을 일반화 시켜보겠습니다.

 

 

이와 같은 방법을 통해서 페곡선에 대해서도 선적분을 풀수있습니다.

 

 

 

여기서 약간의 정해진 답이 있어서 외우면 편할것을 소개하도록 하겠습니다. 바로 페곡선 선적분시에 있는 정해진 답입니다.

 

 

벡터장이 위와 같은 형태에 원점을 포함한 페곡선은 답이 정해져있습니다. 위와같은 답으로 결론이 나옵니다.

 

이것에 대해 증명은 하지 않겠지만 간단히 설명하면 원점은 선적분을 할수가 없습니다. 그래서 페곡선을 원점이 포함되게 원래는 할수 없는데, 이때 페곡선을 분할해석 다른 페곡선을 만들면 스톡스정리처럼 상쇄와 상쇄을 거듭해서 원점 주변의 페곡선만 남게 되어 결국은

원점 주변의 페곡선에 대한 선적분만 하게 됩니다. 때문에 원점을 포함하면 결국 이것만 남고 사라져 답이 같게 나옵니다.

 

 

 

 

 

 

추가로 곡선의 질량에 대한 식을 보여주고 면적분으로 넘어가도록 하겠습니다.

 

 

왜 스칼라 선적분이라고 하는지는 밀도는 스칼라 량이기 때문에 힘과 같이 벡터가 아니기때문입니다. 

 

 

#면적분

 

아마 다들 알고 계실것입니다. 1중 적분은 넓이를 2중 적분은 부피를 3중 적분은 내부의 함수가 없다면 부피를 나타낸다는 것을

 

이 내용은 대학수학에서 배운 내용으로 이과 계열이라면 대학수학에서 배웠으니 이부분은 설명하지 않겠습니다.

 

 

면적분은 개념적으로 유량을 뜻합니다. 영어로 flux 즉 유체가 단위 면을 얼마나 빠져 나가는지에 대한 양을 나타내는 것이 면적분의 개념입니다.

 

쉬운 예를 들면 호스에서 물을 쎄게 틀면 호스 끝 부분의 면적에서 유량이 즉 물이 콸콸 나오는 것이고 물을 약하게 틀면 물이 졸졸 나오는 것과 같은 것입니다. 즉 임의의 면에서 어느정도의 유량이 나오는지 혹은 들어가는지를 면적분을 통해서 구할 수 있는것이죠

 

 

면적분도 선적분과 마찬가지로 몇가지 유형이 있습니다.

 

일단 먼저 면적분을 하기 위해서 함수가 주어졌을때 곡면의 넓이를 구하는 공식을 알고 있어야 합니다. 이내용 역시 대학수학에서 나온내용이라 기억나시는 분들도 있을 것입니다.

 

 

이전장에서 스톡스 정리를 할때 벡터 n이 나왔었는데 이 벡터 n은 상향법선단위백터를 말합니다.

 

곡면에서 수직으로 나오는 벡터를 가리키는 백터 n은 gradiant를 이용해서 구합니다. 여기서 gradiant의 개념을 설명하진 않겠습니다.

 

 

 

 

면적분은 일반적으로 아래의 수식으로 정의됩니다.

 

 

 

여기서 F는 백터장을 말하며 위에서 예를 들은것에 비추어보면 수압이라고 보면 됩니다.

 

 

면적분은 크게 보면 선적분과 같이 3가지 유형이 존재합니다.

1) 개방곡면형태

2) 페곡면

3)스톡스 정리를 이용한 면적분

추가로 곡면의 질량정도가 있습니다.

 

이 각각의 유형을 하나하나 풀어봅시다.

 

 

1)개방곡면 형태

 

이말을 무한한 곡면이 아닌 한정된 곡면을 가지는 곡면에서의 면적분 형태입니다. 이런 곡면이 쉽게 떠오르지 않는다면

지금당장 A4용지를 하나 들어서 공중에서 떨궈보면됩니다. 이때 A4용지가 공간상의 곡면형태와 비슷하니

 

 

이런 형태의 개방곡면 형태의 면적분은 상향법선단위벡터와 벡터장의 내적을 이중적분하면 되는 형태입니다.

 

 

하나의 예를 들어봅시다.

 

 

 

마지막의 계산 과정은 이중적분을 배웠다면 간단히 할수 있기 때문에 이해할수 있을것입니다.

 

 

 

2)페곡면의 형태를 가질때

 

이 경우를 가장 쉽게 예를 드는 것은 축구공 모양의 구체가 가장 좋은예가 되겠군요  이런 구체는 어떠한 방향으로 봐도 구멍이 없는 형태의 페곡면입니다.

 

이때는 위에서 설명한 상향법선단위백터 대신에 외향백터로 즉 구의 중심을 기준으로 혹은 페곡면의 법선벡터형태로 전방위적으로 바깥쪽을 향하는 벡터를 가지고 면적분을 합니다.

 

 

그런데 여기서 전방위적으로 바깥쪽을 향하는 벡터는 사실상 발산과 동일한 의미입니다. 때문에 이런 페곡면의 면적분은 발산정리를 이용해서 풀게 됩니다. 이전에 전자기학에서도 발산정리를 한적이 있으나 여기서 간단히 다시 다뤄봅시다.

 

페곡면에 대한 면적분식을 발산정리로 바꾸는 것이죠

 

 

이전 전자기학에서 정리한 발산정리는 아래와 같은 식이었습니다.

 

 

즉 페곡면에 대한 선적분을 발산에 대한 삼중적분으로 바꿀수 잇는 것입니다.

 

 

 

선적분에서도 페곡선에 대해서 그린정리로 정리한것 처럼 페곡면은 발산정리로 정리할수 있습니다.

 

한가지 문제를 예로 들어봅시다.

 

 

 

 

이런 페곡면의 문제에서 페곡선의 문제와 동일하게 답이 정해져있는 경우가 있는데

 

 

이것 역시 발산정리로 증명할순 있으나 이것에 대한 증명은 필요도 없고 그냥 이렇게 나왔으면 답이 정해져 있다는 것만 알면 됩니다.

 

 

3)스톡스정리를 통한 면적분

 

 

이 것은 이전에 나온 스톡스 정리를 반대로 이용하는 것입니다. 즉 회전에 대한 면적분을 경계에 대한 선적분으로 바꾸는 것이죠

 

 

 

스톡스 정리는 공간상의 그린정리로 이내용은 선적분과 연관성이 매우 깊습니다. 이 문제에 대해서는 조금 보는 눈이 필요한데

 

백터장으로 나온 함수가 curl을 구하기 어렵다면 선적분으로 바꿔서 풀고 curl을 구하기 쉽다면 면적분으로 푸는 방법입니다.

 

 

이 문제의 예를 하나 들어봅시다.

 

 

 

 

 

여기에 z=1인 평면에 대한 상향법선벡터는 (0,0,1)

 

따라서

위의 경우는 일부로 제가 curl을 구하기 귀찮은 내용으로 했습니다

 

 

그렇다면 이번에는 위 빗살무늬토기의 경계면에 대한 선적분으로 고쳐서 해봅시다.

 

 

 

 

 

마지막으로 스칼라 면적분 즉 곡면의 질량을 구하는 공식을 보고 마무리 하겠습니다.

 

 

질량은 밀도에 면적를 곱하는 것이라고 생각하면 쉽게 이해가 가능합니다.

 

 

 

 

 

지금까지 복소적분을 나가기 위해서 선적분, 면적분을 복습해봤습니다. 이 개념들만 머리에 가지고 가면 복소적분도 큰 무리 없습니다.