편미분 방정식(PDE)

편미분 방정식을 다룰 차례가 됬습니다.

 

편미분 방정식은 공학수학 처음에 미분방정식의 개념을 설명하면서 같이 설명했었습니다.

상미분방정식을 할줄 안다면 편미분 방정식도 쉽게 알수 있습니다.

 

일반적인 편미분 방정식의 형태를 보면

 

위의 편미분 방정식은 제차의 형태입니다. 이전의 제차와 비제차의 개념과 동일합니다

위의 알파벳 ABCDEFG는 각각 이변수 함수입니다.

 

위 의 편미분 방정식이 일반식이됩니다 우변에 G가 존재해서 비제차가 된다면요

 

 

공학에서 많이 사용하는 편미분방정식은 뭐가 있을까요?

 

위의 4개의 식은 아마도 공학을 전공한 분이시라면 어디서든지 한번 봤을 식입니다. 

 

편미분 방정식 역시 중첩의 원리가 통합니다. 해들간의 일차 결합 역시 해가 되는 것이죠

 

PDE에 관해서 기존 ODE에 비해서 중요해지는 개념을 조금 짚고 넘어갑시다.

바로 미분 작용소의 개념이 매우 중요해집니다.

미분 작용소의 정의는 미지함수와 편도함수로 이뤄진 식이며, 이 식이 편도함수의 선형결합일 경우 미분 작용소를 선형이라고 합니다. 따라서 모든 PDE는 미분작용소D 에 대해서 

Lu=0 의 꼴로 쓸수 있으며, 유명한 것이 라플라스 작용소가 있습니다.

더 깊게 들어가면 함수해석학의 이론이 필요하기도 하고, 존재성과 정규성에 관한 이야기도 해야되니 넘어 갑시다.

조금 상미분방정식과 다른점은 뺄셈의 원리 입니다.

 

 

뺄셈의 원리란?

어떤 u1,u2가 비제차 편미방의 해라면 u1-u2의 값은 제차 편미방의 해가 됩니다.

 

 

좀 특이한 원리입니다. 뺄셈의 원리의 증명은 하지 않겟습니다.  나중에 완전히 편미분 방정식을 풀수 있게 되면 자연스레 뺄셈의 원리가 성립되는 것을 알게 되실것입니다.

 

 

 

위의 식이 편미분 방정식의 일반형태입니다. 위의 편미분 방정식은 ABC항을 통해서 몇가지 분류를 합니다.판별식이라고 합니다.

 

일반적으로 A,B,C는 이변수 함수 이므로 어떤 영역에서는 타원형이될수도 있고 또 다른 영역에서는 포물선형이 될수 있습니다.

 

즉 구간에 따라서 판별식의 부호가 일정하지 않습니다.

 

 

 

공학에서 많이 사용하는 식을 예로 들면

푸아송,라플라스 방정식은 타원형

파동방정식은 쌍곡선형

열전도방정식은 포물선형

 

입니다.

 

이런 형태는 해의 성질과 밀접한 관련이 있습니다.

간단히 맛뵈기로 먼저 말하면 타원형의 방정식은 평형(equilibrium)상태를 나태내는 현상, 

쌍곡선형의 방정식은 파동과 같은 전파(propagation)현상과 관계가 있고, 

포물선현의 방정식은 확산(diffusion)현상과 관련이 있습니다.

 

위의 평형상태나 전파 또는 확산 등등은 수학에서는 다루지는 않겠습니다. 제가 공학 분야 다룰때 열역학이나 혹은 어떤 과목에 필요할때 그때 다루도록 하겠습니다.

 

 

 얼추 편미분 방정식이 무었인지 인지 했을 것이라고 생각합니다.