라플라스 변환(헤비사이드 전개)

이전 단위 계단 함수를 헤비사이드 함수라고 부르기도 한다는 것을 말했었습니다.

이러한 함수는 불연속점을 상당히 많이 가지고 있는 함수입니다.

만약 함수의 그래프 형태가 주기함수 형태를 띄고 있다면 모두 단위 계단 함수로 바꾸고 라플라스 변환을 취해야 할까요?

아닙니다. 뭐 주기함수의 형태에 따라 구형파, 정현파, 등등 여러가지 가 있지만 라플라스 변환을 구하는 식을 모두 거의 동일 합니다.

일단 주기함수의 라플라스 변환식을 보면 아래와 같습니다.

위식의 증명은 일정주기까지 라플라스 변환과 무한대 까지 라플라스 변환을 나눠서 식을 정리하다보면 나오게 됩니다.

한가지 예를 들어서 위식을 적용해봅시다.

가장 대표적인 주기함수는 삼각함수도 포함되어 있죠 sin함수를 먼저 예를 들면

위와 같이 주기함수의 라플라스 변환은 삼각함수역시 포함됩니다.

이번에는 구형파나 정현파 같은 종류를 알아보죠

위와 같은 함수 역시 주기함수입니다.

이런 주기함수의 라플라스 변환 역시 동일합니다.

이런 식으로 주기함수에 대해 라플라스 변환을 알수 있습니다.

여기서 조금 응용해 보면 단위 계단 함수와 비슷한 형태이나 조금씩 증가하는

이런 함수도 라플라스 변환 가능합니다.

이런 형태의 라플라스 변환의 경우 단위 계단 함수를 응용해서 라플라스변환을 구하는데요

위처럼 일정 주기에 일정하게 증가되는 함수의 경우 라플라스 변환식을 외우는 것도 상당한 도움이 됩니다.

식은 아래와 같죠

이제 본격적으로 헤비사이드 전개 정리에 대해서 알아봅시다.

이 정리는 복잡한 분수형태를 각 인자에 따라 부분 분수로 구하는 방법입니다.

식으로 설명하자면

음..... 말로 설명하기 매우 까다롭군요 예를 들어서 설명하겠습니다.

그렇다면 실제로 이런 헤비사이드 전개 정리와 일반적으로 분수를 각각 나눠서 푸는 것을 비교해 봅시다.

이런 방법이 헤비사이드 전개 정리 입니다.

좀더 응용해서 분모의 인자가 2차 이상인 경우도 알아봅시다.

이러한 식으로 예를 들겠습니다.

위 식 역시 부분 분수로 나눠서 계산하셔도 됩니다.

직접 해보시면 아시겠지만 계산 과정이 상당히 귀찮을 것입니다.

이 경우, 헤비사이드 전개 정리를 적용해보는 것이 더 빠릅니다.

 

그러나 위식에서 완전제곱의 형태만 존재하는 것이 아니죠.

따라서 아래의 경우도 알아야 됩니다.

역시 이런 이론적 설명만 가지고는 쉽게 이해하기 힘들기 때문에 직접 풀어보겠습니다.

문제를 만들어서 예를 들다보니 답이 깔끔하게 떨어지게 나오진 않았습니다만, 헤비사이드 전개 정리를 이해하기 위한 연습이라고 생각하면 되겠네요.

이런 정리는 좀더 빠르게 라플라스 역변환을 시켜주는 하나의 방법으로 생각하면 쉬울듯 합니다.