Fourier series(푸리에 급수)

수학에서 푸리에 급수는 어떠한 주기함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수를 말합니다.

이런 급수화 하는 이유는 본래 함수보다 다루기 쉽게 때문입니다. 푸리에 급수는 전자공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호처리, 화상처리, 데이터 압축 등등 공학의 많은 분야에 쓰이고 있습니다.

많은 사람들이 어려워하는 내용이니 만큼 제 나름대로 최대한 쉽게 쉽게 정리.설명하려 하겠습니다.

이전, 편미분 방정식의 해를 푸리에 급수로 표현한다고 말했었습니다.

어떻게 생겨먹은지 보면 아래와 같은 형태입니다.

  

일단 푸리에 급수 설명에 들어가기에 앞서 이전에 정리한 직교함수의 개념을 가져오겠습니다.

만약 서로 다른 2개의 함수가 있다고 가정해보겠습니다. 이 2개의 함수는 서로 직교하지 않습니다.

그러나 어떠한 함수를 곱해서 서료 직교하게 만들수 있습니다.

이때 곱해지는 함수를 가주함수(weight function)이라 합니다.

식으로 표현해보면

이런 경우 가중함수 w에 대해서 서로 직교한다고 합니다.

이런 가중함수에 대한 내적을 적용해서 f(x)의 직교 집합에 대한 것을 일반 푸리에 급수, 계수를 푸리에 계수라 합니다.

다시 푸리에 급수로 돌아와서 삼각함수 부분은 보면 알겠지만 서로 직교하는 직교함수입니다.

이때 각각의 함수 앞의 계수를 푸리에 계수라고 하며, 구하는 공식은 아래와 같습니다.

여기서 L은 주기를 말합니다.

여기서 주어진 함수 f(x)가 기함수나 우함수냐에 따라서 a,b항 중 하나를 없애는 것이 가능합니다.

우함수라면 b항이 0

기함수라면 a항이 0

이 됩니다. 삼각함수도 기함수 혹은 우함수이기 때문이죠

이런 것이 푸리에 급수가 됩니다. 이런 푸리에 급수든 아니든 급수는 일단 수렴성이 중요합니다

푸리에 급수의 수렴은 아래와 같이 정의합니다.

 

임의의 함수와 그의 도함수가 구간[-L,L]에서 조각 연속이면 함수의 푸리에 급수는 연속인 점에서는 수렴하고 불연속인 점은 좌극한과 우극한의 값의 평균에 수렴합니다.

 

푸리에 급수의 수렴성에 관한 증명은 수준이 상당히 높아서 생략하겠습니다.

 

이렇게 언급한 정의중 구간을 확장할수 있습니다. 이런것을 주기 확장이라 하고 그냥 다음 주기에 함수를 똑같이 갖다 붙인다고 생각하면 편합니다. 대칭으로 확장하거나 똑같이 하거나 마음대로 할수 있죠. 크게 중요한것은 아닙니다.

 

 

 

 

 

이런 푸리에 급수는 무한개의 함수의 합입니다. 그러나 실제로는 모든 항을 이용할 수 없으므로 부분합을 이용하여 근사값을 구하게 됩니다.

 

부분합을 이용하여 근사하는것에 대해서 기브스현상에 대해서 말해보려합니다.

 

예를 들면 구간[-L,L]에서 정의된 함수f의 푸리에 급수에서 처음n항의 부분합을 S(x)이라고 하고 다음과 같습니다.

 

 

 

그냥 푸리에 급수와 같다고 볼수도 있으나 함수의 그래프를 통해서 확인가능합니다.

즉 n까지의 부분합을 계속할수록 사인함수형태로 표현된 그래프가 부분합이 많아질수록 어떤 임의의 값에 도달하게 됩니다.

위그래프에서 a로 표현됬는데 n 이라고 생각하면 됩니다. 점점n의 값이 늘어나면서 그래프가 특정부분에 값을 가지려고 하는것을 알수 있습니다.

 

깁스 현상을 정의하면 불연속을 포함하는 파형이 푸리에 합성되었을때 불연속 값 근처에서 나타나는 불일치 현상이라고 부릅니다.

이런 깁스 현상은 신호해석이나 혹은 역학에서도 많이 보이는 현상입니다.

 

이해하기 어려운 말처럼 들릴수도 있겠네요. 더욱 쉽게 예를 들어보면

 

만약 아래와 같은 함수가 존재한다고 봅시다.

 

머리속에서도 그려질 간단한 그래프입니다. 위 함수를 푸리에 변환한후 부분합을 계속 더해나가다 보면 이 함수의 불연속점에서 그래프가 그려진다는 내용입니다.

 

공학을 전공했다면 한번쯤은 어디서 들어볼수 있는 현상이 깁스 현상입니다. 푸리에 급수와 연관이 매우 있어서 지금 언급했습니다.