2계 미분방정식-Nonhomogeneous Differential Equation(미분연산자)

이번에는 조금 다른 개념을 가지고 와서 아주 쉽게 미분방정식의 특수해를 구하는 법에 대해서 정리하겠습니다.

미정계수법은 일단 어떠한 정해진 틀을 벗어날수 없다는 단점이 있습니다. 론스키안의 경우 시간이 너무 오래걸린다는 단점이 있죠

이런 단점을 보안하기 위해 미분 연산자를 사용하는 방법을 알려드리겠습니다.

미분 연산자란 무엇인가?의 질문을 하실것 같아서 설명을 앞서 드리고 특수해를 구하는 법을 공식화 시켜보겠습니다.

일단 미분 연산자란 D를 이용해 미분을 표현하는 것입니다.

즉

이와 같이 표현하는 방법입니다 여기서 D는 미분을 한다는 뜻의 연산자입니다.

이런 연산중에 1/D는 적분을 한다는 의미로 통할수도 있겠습니다.

이전에 했던 식을 그대로 활용해 보겠습니다.

이런식으로 변환시키는 것이지요. 정확히 말하면 미분 연산자를 이용한 표기법입니다.

이렇게 바꾸로 나서 특수해를 미분 연산자를 이용해 구하는 것입니다.

 이런식으로 특수해를 구하는 것입니다

이때 특수해의 분모로 있는 미분 연산자의 식을 f(D) 로 표기 해서 이때의 f(D)와 R(x)의 모양에 따라서 특수해를 쉽게 구할수 있습니다.

아래의 공식을 보시면서 설명하도록 하겠습니다.

이전에 식을 그대로 활용해 위의 공식을 적용시키면 1번 경우에 해당합니다.

따라서

 

이렇게 간단히 미분연산자를 통해서 특수해를 해결할수가 잇습니다.

다항식의 경우를 확인해 보죠.

이런식으로 표시하여 미분을 다시해서 특수해를 구하는 것입니다. 혹여 분수를 어떻게 저런식으로 바꾼것이냐고 물어보신다면

그냥 여러분이 한번 초등학교때 배운것 처럼 나눠보시면 바로 확인 가능합니다. 예를 들어 1을 x+1로 나눠보죠

이런식으로 그냥 나눠서 몫을 구하는 것입니다

다시 풀이로 돌아가 분수를 나눠서 정리했다면 기존의 R(x)를 미분 연산을 통해서 그냥 구하면 특수해가 나옵니다.

다른 것도 확인해보죠 . 삼각함수의 경우를 봅시다.

이제 다항식도 지수함수도 삼각함수도 다뤄봤습니다 중근의 경우 역시 공식에 대입만 하면 쉽게 구할수 있죠 . 여러분이 가지고 있는 문제에서 위의 유형에 맞는 문제를 찾아서 위 방법으로 한번 풀어보시는 것도 공식을 익히는 좋은 방법이 되것입니다.

이러한 풀이를 통해 특수해를 쉽게 구할수 있는데 다음장에서 이런 특수해의 형태를 아예 딱 정해진 경우 그냥 특수해의 형태를 외우시는 것이 나을수가 있습니다.

몇가지 공식화 시켜놓고 외워두시면 시험같은거 볼때 매우 편하실 것입니다.

위에서 제가 설명한 방법들을 완전히 익히시고 나서 아래의 공식을 외우는 것을 추천드립니다. 위 내용을 적용시키지 못하는데, 공식으로만 하려하면 실수가 나올수 있기때문입니다.

1. R(x)가 다항식인 경우

중요한 것은 f(D)에서 상수항을 1로 만들고 위의 공식을 써야 됩니다.

2. 삼각함수의 경우

이런 미분 연산자를 이용해서 미분 방정식을 푸는 법도 있습니다.

제가 가장 많이 사용했던 방식이기도 하네요.