1계 미분 방정식(일반적인 해법으로 풀수 없는 형태)

앞서 1계 미분방정식의 3가지 풀이를 해봤습니다. 

변수 분리형태, 완전미분방정식 형태, 1계 선형 미분방정식 형태

대부분의 경우 위의 3가지 방법안에서 풀수 있습니다만, 1계 미분 방정식에서 위와 비슷하면서도 다른 미분방정식이 존재합니다.

이 미분방정식은 위의 3가지 방법으로 풀릴것 같으면서도 풀리지 않습니다. 이런 미분방정식에 관해서 알아보고, 풀이를 해봅시다.

** 베르누이 미방**

위 형태의 미분방정식을 보면 어떤 방법으로 풀어야 할까요? 언뜻 보기에는 1게 선형미분방정식의 풀이를 쓰면 될것 같아 보입니다.

그러나 우변에 y에 관한 항이 있어서 1계선형미방의 해법으로 풀수가 없습니다.

또한 변수분리, 완전 미방의 형태로도 힘들죠

이러한 1계 미분 방정식은 조금 다른 해법이 필요합니다.

이런식으로 치환을 이용해서 1계 선형미분방정식 형태로 바꿔야 풀리는 것이 베르누이 미방입니다.

앞서 예를 든 것을 직접 풀어봅시다.

초기조건 y(0)=1 를 추가해서

우변에 x 관련항만 남게 양변에 y의 제곱을 나눠줍시다.

이제 치환을 통해 u에 관한 미분방정식으로 변환하면

이러한 식이 됩니다.

위 식을 1계 선형미방의 해법으로 풀면 되는 것이죠

베르누이 미방은 위와 같은 방법을 가지고 있습니다.

**동차형**

동차형이란 p(x,y) 와 q(x,y)의 차수가 같은 미방을 말합니다.

이런 방식으로 푸는 미분방정식인데, 이 동차형 미분방정식이 변수분리형의 비슷한 형태입니다.

어떠한 미분방정식을 보고 변수분리로 풀릴것 같은데 안풀리는 경우가 있는데 동차형인지 확인되면 이 방법으로 푸는 것입니다.

역시 예를 드는 것이 가장 좋겠죠.

동차형 미분 방정식은 위와 같은 방법으로 푸는 것입니다.

**적분인수**

앞서 1계 선형미방에서 적분인자를 곱해서 증명하는 과정을 보여드렸습니다. 이미 말한 내용이지만 다시 업급하면 연산을 편하기 위해서 양변에 곱해주는 값을 말합니다.

즉

이런 람다 값을 찾는 것이 어려워 보일수 있지만, 이 값을 구하는 공식이 존재합니다.

이러한 방식으로 람다를 구해서 양변에 곱해줌으로써 완전미방의 형태를 만들어 푸는 것입니다.

**비선형 미분방정식**

선형적인 미분방정식은 그 풀이를 알고 있다면 매우 쉽게 해결이 가능합니다. 그러나 비선형의 경우는 이야기가 다르죠.

모든 비선형 미분방정식이 이 방법으로 풀린다고 보장하지는 못합니다. 단 몇몇의 문제는 이러한 방식으로 풀수있습니다.

예를 들어봅시다.

위 미분방정식은 비선형 미분 방정식입니다. y' 이 세제곱이 되어있기 때문에 선형적이니 못하죠.

이러한 비선형 미분방정식의 기본적인 풀이 틀은 dy/dx를 u로 치환하는 법입니다.

2가지 문제로 예를 들어서 설명하겠습니다.

문제1.

여기서 한번더 변수 분리 해법을 통해서 해를 구할수 있는 것이죠.

문제2.

즉 , 비선형 미분 방정식은 우리가 풀수 있는 선형 미분방정식의 형태로 바꿔주는게 가장 중요 포인트입니다.