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1계 미분방정식(변수분리형,Separable first-order Differential Equation)

권찡 2018. 10. 28. 16:11

가장 간단한 1계 미분방정식의 풀이 부터 시작합니다.



1계 미분방정식은 여러가지 종류가 있겠지만, 아래의 조건이 만족한다면 변수분리법으로 푸는것이 간단합니다.


f(x)%2Bg(y)%5Cfrac%20%7B%20dy%20%7D%7B%20dx%20%7D%3D0%20


위와 같은 형태로 정리가 가능하면 변수분리법으로 풀수있습니다.




제가 생각하기로는 1계 미분방정식의 풀이중 가장 간단한 해법입니다.



원래는 dy/dx는 일반적인 분수와 같이 dx를 곱한다고 dy가 되는 형태는 아니지만 , 이런 경우는 가능합니다.




즉,


f(x)dx%2Bg(y)dy%3D0%5C%5C%20%5C%5C%20f(x)dx%3D-g(y)dy%20



이렇게 정리를 한후 각각의 변수에 따라서 적분을 취하는 것으로 미분방정식의 해를 구하는 것입니다.





예를 들어보겠습니다.


%5C%5C%20%EB%AC%B8%EC%A0%9C.%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20dy%20%7D%7B%20dx%20%7D%3D%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20(y-1)%20%7Dsin%5Ccombi%20%7B%20x%5Cquad%20%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%98%EC%8B%9C%EC%98%A4%20%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%ED%92%80%EC%9D%B4.%5C%5C%20%EC%95%9E%EC%84%9C%5Cquad%20%EC%84%A4%EB%AA%85%EC%B2%98%EB%9F%BC%5Cquad%20%EB%B3%80%EC%88%98%EC%97%90%5Cquad%20%EB%A7%9E%EA%B2%8C%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%A6%AC%ED%95%B4%5Cquad%20%EC%8B%9D%EC%9D%84%5Cquad%20%EB%B3%80%ED%98%95%ED%95%B4%EB%B3%B4%EA%B2%A0%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5C%5C%20sin%5Ccombi%20%7B%20x%20%7D%5Cquad%20dx%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20(y-1)%20%7D%20%7Ddy%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%9D%B4%EB%9F%B0%EC%8B%9D%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%A6%AC%ED%95%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4%5Cquad%20.%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%A0%9C%5Cquad%20%EA%B0%81%EA%B0%81%EC%9D%98%5Cquad%20%EB%B3%80%EC%88%98%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%ED%95%9C%5Cquad%20%EC%A0%81%EB%B6%84%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%B7%A8%ED%95%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cint%20%7B%20sinx%20%7D%5Cquad%20dx%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%202%20%7D%7B%20(y-1)%20%7D%20%7D%20%7D%5Cquad%20dy%5C%5C%20%5C%5C%20-cosx%5Cquad%20%3D%5Cquad%20-%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20y-1%20%7D%5Cquad%20%2Bc0(%EC%A0%81%EB%B6%84%EC%83%81%EC%88%98)%5C%5C%20%EB%8B%A4%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%96%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%9C%84%EC%8B%9D%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%B4%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%98%EB%8A%94%5Cquad%20%EA%B2%83%EC%9E%85%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20y%EC%97%90%5Cquad%20%EA%B4%80%ED%95%B4%5Cquad%20%EC%A0%95%EB%A6%AC%ED%95%98%EC%97%AC%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%8F%84%5Cquad%20%EC%A0%95%EB%8B%B5%EC%9D%B4%EA%B3%A0%5Cquad%20%EC%9C%84%EC%B2%98%EB%9F%BC%5Cquad%20%EA%B7%B8%EB%8C%80%EB%A1%9C%5Cquad%20%5C%5C%20%EB%82%98%EB%91%AC%EB%8F%84%5Cquad%20%EC%A0%95%EB%8B%B5%EC%9E%85%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%5Cquad%20%5C%5C%20%EC%9D%B4%EC%99%80%5Cquad%20%EA%B0%99%EC%9D%80%5Cquad%20%EB%B0%A9%EB%B2%95%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%B3%80%EC%88%98%EB%B6%84%EB%A6%AC%EB%A5%BC%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%9C%5Cquad%201%EA%B3%84%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%92%80%EC%9D%B4%EC%9E%85%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20




이런식으로 풀어내는 것이 변수분리형이라고 보시면 되겠습니다.




이것을 통해서 공식화된 일반해를 보면




%5Cint%20%7B%20A(x)%20%7Ddx%5Cquad%20%2B%5Cint%20%7B%20B(y)dy%5Cquad%20%20%7D%3D%5Cquad%20c%20


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