1계 미분방정식(완전미분방정식형,Exact Differential Equation)

먼저 완전미분방정식이 어떤 것인가 정의해야합니다.

전미분 방정식(Total Differential Equation)에 대해서 알고 있다면 완전 미방을 이해하기 쉬울것입니다.

이변수 함수의 u(x,y)=c 의 전미분을 하면 아래의 식으로 정의됩니다.

이 식을 통해서 1계 미분방정식의 형태로 바꿀수가 있는데

이때 아래와 같이 가정해봅시다.

이 식을 전미분방정식에 대입하면

이러한 전미분방정식으로 됩니다.

위 전미분 방정식이  를 만족하는 이변수함수 u가 존재하면 이를 두고 와전 미분방정식이라고 합니다.

우리가 마주하는 미방이 완전미방인지 아닌지 아는 방법은 간단합니다.

위의 조건이 만족하면 완전 미분방정식이 성립하는 것이죠.

 예를 들어서 완전미방을 설명하도록 하겠습니다.

위와 같은 미분방정식이 있을때 완전 미방임을 확인해 봅시다.

dx 앞에 식을 M(x,y) 로 보고 dy앞에 식을 N(x,y)라고 본다면

M을 y로 편미분, N을 x로 편미분해서 확인합니다.

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값은 같은 것을 확인했습니다. 이럴 경우 완전미분방정식의 해법으로 푸는 것입니다.

일반해의 형태부터 보겠습니다.

복잡해보이는 식입니다.

그러나 위 식을 자세하게 살펴보면 위식은 원래의 이변수 함수 u(x,y)를 구해내는 식임을 알수 있습니다.  이때 u함수를 potential function이라고 부르며

영어 의미 그대로 원래의 본함수라는 의미입니다. 즉 완전미방의 해는 potential function이다 라는 것이죠.

쉬운것 하나 예를 들어보겠습니다.

이 식이 완전미방인지 확인했으니 potential function를 구해봅시다.

M(x,y)가 potential function의 x편미분식이고, N(x,y)가 potential function의 y편미분식입니다.

반대로 연산한다고 생각해보죠. 각각 변수에 맞게 적분 한다는 것이죠.

공통된 부분은 중복된다 보고 따로 있는것은 그냥 씁니다.

이것이 potential function 함수가 되는 것이죠.

즉 위 미방의 해는

u(x,y)=c(적분상수)

조금 복잡해보이는 미분방정식을 보여드리면

이 문제의 해를 구해봅시다.

앞서 배운 변수분리법으로 풀리지 않을것 같습니다. 그렇다면 완전미방인지 확인해보겠습니다.

완전미분방정식이네요.

그렇다면 해를 구하는 것은 간단합니다. potential function를 구하면 됩니다.

완전 간단한 미분방정식 풀이네요.