권찡's 공학이야기

이번장부터 복소수에 관해 알아봅시다. 복소수는 실수와 허수의 결합으로 이뤄진 수를 말합니다. 실제 허수는 존재하지 않는 가상의 수 개념이지만, 허수는 이후 공학분야에서 많이 쓰이고 있으며, 이전에 배운 푸리에 변환 라플라스 변환 역시 허수의 개념이 있었습니다. 위와 같은 수 체계를 복소수라 하며 x를 실수부, y를 허수부라 합니다. 만약 복소수z로 이런 실수부와 허수부를 나타내는 기호가 있습니다. Re : real / Im : imaginary 의 의미로 각각 실수와 허수를 나타내죠. 사실 복소수라하여서 기본적인 실수와 연산 차이가 있는 것은 아닙니다. 이후 몇가지 차이는 있으니 기본 같죠. # 사칙연산 이런 기본 사칙연산은 고등학교때에도 배우기 때문에 따로 설명은 필요하지 않을 것 같네요. #공액(켤레..

이전장에서 연속시간함수의 푸리에 변환, 이산시간함수의 푸리에 변환에 대해서 알아봤습니다. 실제 이런 푸리에 변환을 손으로 계산하는 것은 학생때 직접하겠지만, 실제 엄청난 양의 데이터를 손으로 직접 계산한다는 것은 굉장히 힘들고, 무리입니다. 또한 컴퓨터에서 이런 계산을 대신하기 위해서는 신호가 이산적이어야 합니다. 즉 DTFT가 사용될것 같지만 아래 그림에서 보는 것과 같이 비주기적인 이산함수를 푸리에 변환하면, 연속 주기 스펙트럼이 나타납니다 컴퓨터에서 연속적 신호는 정보량이 굉장히 많기 때문에 오래걸리기도 하고 효율이 좋지 못하겠죠 때문에 샘플링을 추가해서 DFT(Discrete Fourier transform) 을 해야 됩니다. 즉 , DFT란 시간영역의 이산 함수를 주파수 영역의 이산 함수로 변환..

대각화는 이후 선형대수 및 다른 공학에서도 중요하게 다뤄지는 백터공간을 알기 위해서 알아야하는 개념입니다. 간략하게 먼저 설명을 하자면, 임의의 정사각행렬 A가 대각행렬과 닮은 행렬일 때, 이 행렬은 대각화 가능하다고 말합니다. 여기서 대각행렬이란 대각원소이외에 전부 0인 행렬을 말하죠 위의 행렬은 행렬식을 구하기 매우 쉽습니다. 행렬식의 값이 모든 고유치의 곱이기 때문이죠. 대각화 가능하다는 말은 무슨 말일까요? 대각화가 가능한 행렬은 조건이 있습니다. 이른바 대각화 가능한 행렬이 될 필요충분조건은 A(n x n)가 서로 일차독립은 n개의 고유백터를 갖는것이 필요충분조건입니다. 좀더 쉽게 말하면 서로다른 고유치를 갖게 되면 대각화가 가능합니다. 조금 다르게 설명하면 n by n 정사각행렬에 대해서 고유..

행렬을 다루는데 가장 많이 사용되는 것이 고유값 및 고유백터가 아닌가 합니다. 간단히 개념을 설명하라면 어떠한 정사각 행령에 영이 아닌 적당한 열백터를 곱한 결과가 그 열백터의 스칼라 곱과 같아질 때 해당 열 백터를 고유백터라 합니다. 식으로 표현하면 아래와 같죠 여기서 람다는 스칼라, X는 고유값으로 이뤄진 행렬입니다. 이렇게 설명하면 이해하기 어려우니 예를 들어보겠습니다. 이와 같은 행렬이 있다고 해봅시다. 위에서 A에 해당하는 행렬이 되겠죠. 위의 정의 식을 조금 변형해보겠습니다. 여기서 행렬 X 를 찾아야 합니다. 구하는 과정은 1. 특성다항식 det(A-ㅅI)를 구한다. 2. 특성다항식의 값이 0이 되는 람다를 구한다. 구해진 람다 값은 고유치가 된다. 3. 각각의 고유치에 대응하는 연립방정식을..

리눅스란 무엇일까?? 컴퓨터에 대해서 알지 못하는 사람도 윈도우는 알고 있을 것입니다. 대부분의 일반 가정에는 윈도우가 설치되있지만, 윈도우에 대해서 자세히 알지 못하죠. 윈도우는 운영체제(OS,operating system)입니다. 운영체제는 하드웨어와 응용프로그램 사이에서 응용 프로그램을 그 목적에 맞게 수행하도록 하드웨어를 제어하고 그 처리 결과를 다시 응용 프로그램으로 보내는 역할을 합니다. 이 운영체제는 윈도우 말고도 다른 운영체제가 존재합니다. 대표적으로 맥os, 유닉스, 리눅스가 있습니다. 리눅스는 리누스 토발즈에 의해 커널이 최초 개발되었으며 이후 전세계 많은 프로그래머들의 참여 및 기여로 지속적인 개발이 되었습니다. 초기에는 서버용 운영체제였으나 점차 데스크탑용으로도 그 사용이 늘어나서 ..

linear algebra 에서 첫번째로 다룰 내용은 행렬인데, 기본적인 행렬의 특징은 중학교인가, 고등학교인가 처음 행렬을 배울때 했던 내용이니 그것을 다시 하진 않겠습니다. 기본상식으로 깔고 갑니다. 먼저 제가 알려 드릴 내용은 transpose 와 trace의 개념입니다. transpose는 행과 열을 바꾸는 것입니다. 기호는 행렬에 윗첨자로 T로 쓰는데, 예시를 보면 이해가 가실 것입니다. 즉 1행 1열 , 2행 2열, 좀더 큰 행렬이라면 3행 3열 , 4행 4열 의 원소를 기준으로 바꾸는 연산을 말합니다. 정사각형 행렬이 아닌 경우는 와 같이 되는 것입니다. 또 한가지 방금 말한 1행 1열, 2행 2열의 원소 들을 보고 대각 원소라고 하면 trace는 이런 대각 원소들의 합을 말합니다. 기호는 ..

공학에서 푸리에 급수, 적분, 변환이 어떻게 적용되는지 알아봅시다. 간단하게 이전에 한 내용을 리뷰해봅시다. 편미분 방정식의 해가 푸리에 급수로 표현되고, 이런 푸리에 급수는 아래의 식을 가진다고 했죠 각각의 계수는 였습니다. 세부적으로 언급한 것은 링크달은 곳에서도 이미 설명했습니다. 급수를 변환으로 바꾸는 것은 오일러 공식을 통해서 변환했습니다. 이 식을 이용해서 위의 푸리에 급수를 지수함수로 표현하면 이런식으로 바뀌었고, 푸리에 적분과 같이 뮤로 고친후 구간확장을 하게 되면 되었습니다. 딱 여기까지는 수학적 도구로써 설명입니다. 이제 공학에서 갖는 물리적 의미를 부여 해봅시다. 나중에 기계공학에 대해서 정리할때도 나오겠지만, 진동학,열전달 등등에서도 푸리에 변환이 이용되고, 전자공학에서는 신호의 분..

이후 푸리에 변환 혹은 다른 변환 등등 여러가지 경우 더 나아가 선형대수에서도 적용되는 이야기를 하고 넘어갑시다. 설명 드릴 내용은 수학에서, 아니 어쩌면 공학계열 통틀어서 수학을 빼놓을순 없으니, 공간 space의 개념을 설명하고자 합니다. 선형대수 관련 내용이 나오지만 자세한것은 선형대수에서 정리하도록 하죠 벡터의 개념은 다들 아실 것입니다. 물리를 조금만 해봐도 알겠지만 벡터와 스칼라가 다른것은 알고 계실 것 같네요. 그... 무슨 광고에서 커플인데 여자친구가 인생은 속도가 아니라 방향이다 라고 하니, 남자친구가 이과 계열인지 속도는 벡터 값이니 방향을 포함하고 있다, 뭐 그런식의 광고를 본적이 있습니다.ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 이과계열이라서 이런거 그냥 못지나가는 성격이긴 하지만.. 어쨌든 벡터라는 개념..

푸리에 변환 역시 이전에 한 푸리에 급수를 적분으로 변환한 것과 비슷합니다. 어쩌면 라플라스 변환같은 변환식인것이지요. 하나의 예를 들자면 시간축으로 표현된 함수를 주파수축으로 표현하기 위해서 푸리에 변환을 사용하기도 합니다. 푸리에 변환은 급수를 오일러 공식을 통해서 변환합니다. 오일러 공식이 무었이냐? 위와 같은 공식을 오일러 공식이라고 합니다. 이식은 매클로니 급수를 통해서 증명이 가능합니다. 기본적인 매클로니 급수를 보여주면 위 메클로니 급수를 오일러 공식에 대입해면 오일러 공식이 성립하게 됩니다. 그렇다면 오일러 공식을 통해서 삼각합수를 표현할수도 있습니다. 이런 오일러 공식을 통해서 이전에 푸리에 급수를 표현할 수 있습니다. 잘 이해가 안되는 분들을 위해서 설명을 하면 자 다시 본론으로 돌아와..

푸리에 급수와 주기함수에 대해서 알고 있어야 푸리에 적분을 이해하실수 있습니다. 이전 푸리에 급수를 다룰때 -L