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권찡's 공학이야기
앞서 다룬 스튀름-리우빌 이론 (간단한 설명) 의 대표적 예로 르장드르 방정식이 있었습니다. 아래와 같은 꼴의 미분 방정식을 르장드르 미분방정식이라고 합니다. 여기서 n은 상수입니다. 음이 아닌 양의 상수 스튀름-리우빌 형식으로 쓰면 위 식은 x가 1,-1,무한 에서 정칙 특이점을 가집니다. 하지만 이 점들 대신에 x=0 주변에서의 해의 행동에서만 관심을 갖겠습니다. 왜냐하면 x=0 주변에서의 해 들이 물리나 공학에서 더 의미 있기 때문입니다. x=0 일때 정상해를 가지기 때문에 아래의 식을 위 르장드르 미분방정식에 대입하면 이러한 형태의 식을 얻을수 있습니다. 이 식에서 우변의 0이 되려면 계수 부분이 0이 어야 하기 때문에 식을 정리하면 아래와 같은 순환 공식을 얻게 됩니다. 여기서 c0와 c1이 임..
뒤에 다룰 르장드르 미분방정식, 기타 등등을 다루기 위해서 먼저 스튀름-리우빌 이론에 대해서 알고 갑시다. 앞서 정리한 프로베니우스 방법이 단순하다면, 스튀름-리우빌 이론은 포괄적하다고 볼수 있습니다. 미분방정식 이론은 규칙이 별로 없고 , 각각 마다 해법이 등장하는게 일반적이지만, 모든 2차 선형 상미분 방정식의 해를 예측할수 있는 스튀름-리우빌 이론은 적용범위가 거대하다고 할수 있죠. 스튀름-리우빌 미분 방정식은 아래와 같이 표현됩니다. 여기서 람다는 상수이며, 기타 p,q,r 은 실수인 함수로 가정합니다. 여기서 p(x)는 미분 가능해야하며, q(x)는 특별한 제약은 없고, r(x)는 전체 구간에서 항상 0보다 커야한다고 가정해봅시다. 이 방정식은 선형 방정식이므로 p,q,람다 의 갑셍 따라 해의 ..
프로베니우스 해법은 앞서 다룬 급수해법중에서 어떠한 경우를 나타냅니다. 물리학이나 공학에서 많이 나타나는 미분방정식은 아래의 형태를 많이 가집니다. 이때 a(x)를 양변에 나누며 정리하면 아래의 형태가 됩니다. 이때 각각 p,q의 분모 가 0이 되지 않는다면 정상해를 갖고, 0이 된다면 특이해를 갖는다고 정리했습니다. 세부적으로 들어가면 정칙 특이점, 비정칙 특이점이 존재합니다. 예로 이전에 급수해법을 설명할때 특이해를 가질경우 어떻게 급수를 정하는가에 대해서 잠깐 보여드렸습니다. 문제를 가지고 이해해봅시다. 이러한 방식으로 특이해를 구할수 있습니다.
지금까지 상미분 방정식에 대해서 풀이법을 정리했습니다. 이제부터는 연립 미분방정식에 대해서 다뤄봅시다. 연립방정식을 언제 배웠는지는 기억이 안나지만, 연립 방정식과 마찬가지로 연립 미분방정식도 비슷하게 풀수 있습니다. 가감법, 대입법, 소거법 등등 모든지 적용해서 푸는 것이 가능합니다. 그중에서 행렬을 이용해서 연립방정식을 푸는 법이 있습니다. 이런 행렬을 이용해서 미분방정식도 풀수 있습니다. 이러한 방식으로 연립 미분방정식을 풀어낼수 있습니다. 그러나 연립 미분방정식이 1계 미방으로만 되어있지는 않습니다. 그럴경우 앞서 말한 가감법이나 소거법을 이용해서 풀수도 있죠 구해진 x값을 이용해서 미분 방정식에 대입해 y값을 구하는 것입니다. 생각보다 매우 간단하지만 잘 보면 제차 미방간의 연립입니다. 다뤄야 ..
이전에 다룬 리카티 미분방정식이나 베르누이보다 더 쉬운 미분방정식입니다. 클레로(Clairaut) 미분방정식은 아래와 같은 형태를 보고 말합니다. 푸는 방법은 간단합니다. 위 식을 양변에 x로 미분합니다. 곱해서 0이 되는 경우는 2가지 밖에 존재하지 않습니다. 1. y''=0 인 경우 이 경우 y의 함수가 일차 함수라는 것을 알수 있습니다. (2번 미분하니 0이 되니) 즉 y=ax+b 2. x+f'(y') 가 0인 경우 이 경우 x나 y'에 관하여 관계식을 구한후 주어진 미분 방정식에 대입해 풀어야 합니다. 예를 들어서 이해해봅시다. 매우 간단한 풀이죠 사실상 미분방정식 같지도 않은 간단한 풀이입니다.
리카티(Riccati) 미분방정식은 아래와 같은 식입니다. 위와 같은 형태의 미분 방정식을 보고 리카티 미분방정식이라고 합니다. 지금까지 정리한 내용으로 이런 미분방정식을 푸는 법이 떠오르지가 않습니다. 상당히 어려운 미분방정식입니다. 왜냐? 일단 풀이가 이미 알고 있는 particular Solution이 있어야 됩니다. ?????? 무슨 말이냐면, 하나의 특수해를 알고 있어야 다음의 풀이가 가능하다는 것인데, 이 특수해를 얻는 방법이 따로 있는 것이 아니며, 직관적으로 혹은 여러번의 시도로 얻어야 합니다. 가령 y=2x 넣으면 성립할 것 같은데?? 혹은 y=1 넣으면 성립하는데?? 와 같은 방식으로 찾아야 하기 때문입니다. 리카티 미분방정식의 예를 하나 들어볼까요?? 이런식으로 하나의 해를 때려 맞춰..
코시 오일러 미분 방정식은 이전에도 설명한 적이 있습니다. https://kwon-jjing.tistory.com/9?category=763310 여기서 설명을 했었습니다. p(x),q(x)가 상수항이 아닐 경우 중에서 이러한 형태를 가지는 미분방정식을 코시오일러 미분방정식이라고 하였습니다. 해를 구하는 법에 대해서는 위의 링크에서 설명을 했었기 때문에 이번에 설명할 내용은 코시오일러 미방에서도 우변의 R(x)가 x나 ln x 형태 일때 치환을 통해서 상수항 계수를 가지는 미분방정식처럼 푸는 법에 대해서 정리하겠습니다. 위와 같은 방식을 통해서 우변의 R(x)항이 삼각함수나 지수함수의 형태가 아니라면 치환을 통해서 보다 간단히 풀어낼수 있습니다.
이번에는 조금 다른 개념을 가지고 와서 아주 쉽게 미분방정식의 특수해를 구하는 법에 대해서 정리하겠습니다. 미정계수법은 일단 어떠한 정해진 틀을 벗어날수 없다는 단점이 있습니다. 론스키안의 경우 시간이 너무 오래걸린다는 단점이 있죠 이런 단점을 보안하기 위해 미분 연산자를 사용하는 방법을 알려드리겠습니다. 미분 연산자란 무엇인가?의 질문을 하실것 같아서 설명을 앞서 드리고 특수해를 구하는 법을 공식화 시켜보겠습니다. 일단 미분 연산자란 D를 이용해 미분을 표현하는 것입니다. 즉 이와 같이 표현하는 방법입니다 여기서 D는 미분을 한다는 뜻의 연산자입니다. 이런 연산중에 1/D는 적분을 한다는 의미로 통할수도 있겠습니다. 이전에 했던 식을 그대로 활용해 보겠습니다. 이런식으로 변환시키는 것이지요. 정확히 말..
비제차 미분방정식에서 특수해를 구하는 방법중에 거의 모든 미분 방정식에 쓸수 있는 해법이 있습니다. 론스키안 해법입니다. 론스키안이란 뭘까요? 선형대수를 할줄 아시는 분이라면 독립과 종속에 관해서 알고계실 것입니다. 정말 간단히 요약한 것인데 쉽게 말하면 각각의 함수 fn 들이 앞의 상수를 통해서 곱하고 빼서 위 식이 성립 되면 각각의 함수는 종속이라는 것입니다 . 즉 서로 연관이 있다는 것으로 이해 해도 무관합니다. 예로 f1 = x-1f2 = 5x-5 위 의 2개의 함수가 있을때 서로 상수5를 곱한 관계가 존재하면 종속입니다. 그러나 e^3x 와 sinx 가 각각 f1,f2라면 각 함수에 상수c를 곱해서 서로의 함수 형태로 만들수가 없습니다. 이런 경우 두 함수를 독립이라고 합니다. 이런 종속과 독립..
이번에는 비제차 미분방정식의 풀이를 정리해보겠습니다. 위와 같은 표준형에서 우변의 R(x)항이 0이 아닐경우 비제차(Nonhomogeneous)라고 합니다. 이러한 비제차 미분방정식의 해를 구하는 법을 정리하기 앞서 해에 대해서 정리하고 갈 내용이 있습니다. 제차 미분 방정식 , 즉 R(x)=0 일때 해를 구한 것을 우리가 homogeneous solution (제차일 경우 구해지는 해) 라고 하죠. 그리고 우변 R(x)에 대해서 구해지는 해, 즉 비제차의 경우 구해지는 해를 particular solution, 특수해라고 합니다. 이때 양쪽 해의 상관 관계에 대해 설명을 먼저 해야될것 같습니다. #중첩의 원리 합수 y1, y2, y3 ......... yk가 n계 제차 선형 미분 방정식의 해라면 임의의..