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권찡's 공학이야기
2계 미분방정식 , 더 나아가 고계 미분 방정식에 대해 푸는 방법을 정리해보겠습니다. 가장 기본적인 2계 미방의 일반형태를 보면 아래의 식과 같습니다. 표준형이죠 이때 우변의 R(x)가 0 일 경우 제차미분방정식, 0이 아닐 경우는 비제차 미분방정식이라 합니다. 제차미분방정식을 풀수있어야 하는 것이 먼저이기 때문에 제차부터 해봅시다. 가장 먼제 계수감소, 계수저하법 이라 불리는 풀이법이 있습니다. 2계 미분방정식 중 하나의 해 y1을 알고 있을때 y2를 구하는 방법이죠 하나의 해 y1이 y2와 비슷한 형태를 가질것이라는 가정에서 나온 식입니다. y2= u y1 이라 가정하고 식을 구하는 것으로 공식은 아래와 같습니다. 이렇게 u를 구한 후 하나의 해 y1과 곱하는 것으로 구합니다. 본격적으로 2계 제차 ..
앞서 1계 미분방정식의 3가지 풀이를 해봤습니다. 변수 분리형태, 완전미분방정식 형태, 1계 선형 미분방정식 형태 대부분의 경우 위의 3가지 방법안에서 풀수 있습니다만, 1계 미분 방정식에서 위와 비슷하면서도 다른 미분방정식이 존재합니다. 이 미분방정식은 위의 3가지 방법으로 풀릴것 같으면서도 풀리지 않습니다. 이런 미분방정식에 관해서 알아보고, 풀이를 해봅시다. ** 베르누이 미방** 위 형태의 미분방정식을 보면 어떤 방법으로 풀어야 할까요? 언뜻 보기에는 1게 선형미분방정식의 풀이를 쓰면 될것 같아 보입니다. 그러나 우변에 y에 관한 항이 있어서 1계선형미방의 해법으로 풀수가 없습니다. 또한 변수분리, 완전 미방의 형태로도 힘들죠 이러한 1계 미분 방정식은 조금 다른 해법이 필요합니다. 이런식으로 치..
선형과 비선형에 관해서는 이미 분류하는 법을 이야기 했으니 해를 구하는 법에 대해서만 다뤄봅시다. n계 선형미분방정식에서 일단 1계까지만 봅시다. 이러한 형태의 미분 방정식이 1계 선형 미방입니다. y' 항의 계수 a1이 0이 아닐경우 양변에 나눠서 보기 편하게 해도 무방합니다. 계수를 나누면 아래의 식이 됩니다. 일반해를 유도해봅시다. 양변에 를 곱합니다. 적분인자라고 하여 이후 식에 어떠한 연산을 편하게 하기 위해서 넣는 것입니다. 유도는 이런식으로 합니다. 실제 문제를 예로 풀어보는 것이 가장 좋은 연습일 될 것이기 때문에 해봅시다. 고계 미방이 아니라서 풀이는 간단합니다. 또한 여기서 p(x),q(x)가 상수항이라면 더욱 쉽게 일반해를 얻을수 있습니다. 지금까지 일반적인 1계 미분방정식의 풀이를 ..
먼저 완전미분방정식이 어떤 것인가 정의해야합니다. 전미분 방정식(Total Differential Equation)에 대해서 알고 있다면 완전 미방을 이해하기 쉬울것입니다. 이변수 함수의 u(x,y)=c 의 전미분을 하면 아래의 식으로 정의됩니다. 이 식을 통해서 1계 미분방정식의 형태로 바꿀수가 있는데 이때 아래와 같이 가정해봅시다. 이 식을 전미분방정식에 대입하면 이러한 전미분방정식으로 됩니다. 위 전미분 방정식이 를 만족하는 이변수함수 u가 존재하면 이를 두고 와전 미분방정식이라고 합니다. 우리가 마주하는 미방이 완전미방인지 아닌지 아는 방법은 간단합니다. 위의 조건이 만족하면 완전 미분방정식이 성립하는 것이죠. 예를 들어서 완전미방을 설명하도록 하겠습니다. 위와 같은 미분방정식이 있을때 완전 미방..
가장 간단한 1계 미분방정식의 풀이 부터 시작합니다. 1계 미분방정식은 여러가지 종류가 있겠지만, 아래의 조건이 만족한다면 변수분리법으로 푸는것이 간단합니다. 위와 같은 형태로 정리가 가능하면 변수분리법으로 풀수있습니다. 제가 생각하기로는 1계 미분방정식의 풀이중 가장 간단한 해법입니다. 원래는 dy/dx는 일반적인 분수와 같이 dx를 곱한다고 dy가 되는 형태는 아니지만 , 이런 경우는 가능합니다. 즉, 이렇게 정리를 한후 각각의 변수에 따라서 적분을 취하는 것으로 미분방정식의 해를 구하는 것입니다. 예를 들어보겠습니다. 이런식으로 풀어내는 것이 변수분리형이라고 보시면 되겠습니다. 이것을 통해서 공식화된 일반해를 보면
미분 방정식의 풀이법 종류는 여러가지가 있습니다. 그중에서 변수계수를 갖는 선형 상미분방정식의 가장 표준적인 해법인 급수해법(Power Series Method)부터 알아봅시다. 가령 y'' - 2xy' + y =0 과 같은 미방이 존재한다면 위와 같은 식을 대입해서 푸는 방법이 급수해법이 되겠습니다. 해가 멱급수형태로 얻어지게 되는 것을 알수 있죠. 조금 어려운 한가지 예를 들어보겠습니다. 위와 같은 문제가 있을때 y값을 구할수 있을까요? 이 경우 위에서 보인 식을 대입하여 푼다고 하여도 쉽게 풀릴것 같지는 않습니다만, 삼각함수는 근사화가 가능합니다. maclaurin 급수를 이용하는 것이죠. 혹시 모를분도 있을수 있으니 보여드리면 위 문제를 풀어보자면 y를 전개해본후 초기조건을 대입해 본다면 C0 =..
미분 방정식을 푼다는 것은 항등적으로 만족하는 독립변수의 함수를 구하는 것을 말합니다. 해를 구하기 위해서는 분류가 필요한데 먼저 미분방정식을 분류해봅시다. 크게 보면 상미분방정식, 편미분방정식으로 구분이 가능합니다.더욱 세부적으로 분류하자면 계수,차수,선형/비선형 으로 분류할수 있습니다. 이렇게 분류를 하는 이유는 간단합니다. 분류를 통해 해법을 구하기 위해서죠. 어떻게 분류되는가에 따라서 풀이방법도 상이합니다. ** 상미분 방정식과 편미분 방정식** 상미분 방정식은 한개 또는 그이상의 종속 변수를 한개의 독립변수로 미분한 도함수만을 포함하는 미분방정식을 말합니다.보통 ODE(Ordinary Differential Equation)이라고 부릅니다. 예를 들면 위와 같이 y가 x에 관한 일변수 함수로 표..
일단 미분방정식을 정의 해 보겠습니다. 미지 함수와 이의 도함수를 포함하는 방정식 - 미지함수 y=f(x) 와 그 도함수 dny/dxn사이에 어떤 관계를 나타내는 방정식 으로 정의 내릴수 있습니다. 18세기 스위스 수학자 오일러에 의해 개발되고 발전되었습니다. 뭐 간단히 말해서 미분이 들어가있는 방정식이 미분방정식입니다. 예를 하나 들면 뭐 이런 식으로 미분이 들어있는 방정식을 미분방정식이라고 합니다. 이런 미분 방정식은 자연계의 물리적 현상을 수학적 모델링하여 표현하는 것입니다. 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여 , 몇단계를 거치면 미분방정식, 초기조건, 경계조건을 찾아내는 것이 모델링이죠 대부분의 경우, 계속 변화되는 변화률의 관계를 나타내게 됩니다. 예를 들자면 자유낙하 방정식 : d2y/d..
공학 수학은 공대 및 이과계열 이라면 기초적으로 알아야할 내용이라 생각됩니다. 모든 전공과목은 기본적으로 수학적 지식을 기반으로 하고, 수학적으로 해석하기 때문에 수학을 모르고 공학을 이해할수 없습니다. 유명한 말이 있죠. '자연(우주)은 정확한 수학적 법칙에 의해 지배되는 완전한 기계' 데카르트가 한 말로 기억하는데 공학에서 수학을 빼놓을 수없다는 말이라고 생각됩니다. 공학수학을 할때 당연히 알아야할 내용은 미적분입니다. 요즘은 고등학교때도 일정부분 배우니 몇가지 중요한 것만 짚고 넘어가보겠습니다. 일단 미분은 굳이 말하자면 기울기를 말합니다. 극한의 개념을 통해 미소 길이에서 기울기를 뜻하는 것입니다. 이런 기초적인 개념은 고등학교때 다 배우 셧을 것이니 넘어가겠습니다. 많이쓰이는 미분관계를 외워두시..