미분방정식(ODE)의 기초

일단 미분방정식을 정의 해 보겠습니다. 

미지 함수와 이의 도함수를 포함하는 방정식 - 미지함수 y=f(x) 와 그 도함수 dⁿy/dxⁿ

사이에 어떤 관계를 나타내는 방정식

으로 정의 내릴수 있습니다.

18세기 스위스 수학자 오일러에 의해 개발되고 발전되었습니다.

뭐 간단히 말해서 미분이 들어가있는 방정식이 미분방정식입니다.

예를 하나 들면

뭐 이런 식으로 미분이 들어있는 방정식을 미분방정식이라고 합니다.

이런 미분 방정식은 자연계의 물리적 현상을 수학적 모델링하여 표현하는 것입니다.

물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여 , 몇단계를 거치면 미분방정식, 초기조건, 경계조건을 찾아내는 것이 모델링이죠

대부분의 경우, 계속 변화되는 변화률의 관계를 나타내게 됩니다.

예를 들자면 

자유낙하 방정식 : d²y/dt²=g

조화 진동 방정식 : m d²x/dt²= -k x

이러한 미분방정식의 해를 구하게 되면 풀이된 해로 예측할수 있게 되는 것이죠

표현하는 방식은 양함수형태, 음함수 형태 2가지가 존재합니다.

양함수 형(explicit form)은 독립변수와 종속변수가 분리된 형태

음함수 형(implicit form)은 독립변수와 종속변수가 분리되지 않는 형태

로 나눌수 있습니다.

세부적인 분류에 관해서는 이후 진행하면서 정리하겠습니다.

여기서는 간단히 미분방정식의 해에 대해서 알아보고 갑시다.

미분 방정식의 해란 미분방ㅈ어식에 대입하였을 때 항등적으로 만족시키는 함수를 말합니다.

미분방정식에는 여러가지 종류의 해가 있습니다.

세부적으로 깊게 들어가서 정리하면

* 자명해, 비자명해

 - 자명해(trivial solution) 은 쓸모없는 해를 말합니다. 언제나 항등적으로 만족시키는 자명한 해를 말하죠

    가령 y=0 과 같은

 - 비자명해(nontrivial solution) 은 일반적으로 미분방정식을 푼다는 것은 비자명해를 구하는 것입니다.

* 일반해,보조해,특수해, 특이해

 -일반해(완전해,general solution)는 일반적으로 방정식을 풀었을때 나오는 값입니다.

  모든 해를 포함시켜 나타낸 해 형태입니다.

  

  즉, 일반해란 보조해(동차해/고유응답/과도응답) + 특수해(특별적분해/강제응답) 의 형태라는 것입니다.

 -보조해/여함수/동차해/제차해 (complementary solution, homogenous solution) 

  비제차 미분방정식을 제차 미분방정식으로 가정하여 구한 해를 말합니다.

 -특수해(particular solution)는 주어진 미분방정식을 만족시키는 개별적인 각각의 해를 말합니다. 일반해에 포함된 모든 임의의 상수값을 

  지정하고 이로써 유일하게 얻을수 있는 해를 말하죠. 

  

  동시에 초기조건도 만족해야하는 해라고 볼수 있습니다.

 -특이해(singular solution)는 일반해의 형태를 띄지 않는 형태로 다른 해 입니다.

  일반해로부터 얻어질수 없는 특이한 해를 말합니다.

위와 같이 해는 여러 형태를 가지고 있죠. 그리고 또한 해가 없을수도 유일할수도 무한히 존재할수도 있다는것을 수학을 해본사람이라면 누구나 알고 있을 것입니다.

유일해를 갖지 않는 조건이 미분방정식에 존재 하는데요

위의 정리가 미방에서 유일해를 갖지 않는 조건이지요

한가지 예를 들겠습니다.

ex) y' = x y   y(0) = 0 

위의 미분방정식에 초기조건이 있습니다 위 해가 유일해를 가지는지 가지지 않는지 해봅시다

dy'/dy = x  (양변을 y로 편미분) 그리고 초기조건 x =0 일때 y=0   을 대입합니다

분모가 0이 되지 않는군요 따라서 유일해를 가집니다

하나 더 해보죠

위같은 경우는 분모가 0이 되는 상황이 생겨나 유일해를 갖지 않습니다.

미분방정식의 해법에 관해서는 하나하나씩 정리해보겠습니다