2계 미분방정식-homogeneous Differential Equation

2계 미분방정식 , 더 나아가 고계 미분 방정식에 대해 푸는 방법을 정리해보겠습니다.

가장 기본적인 2계 미방의 일반형태를 보면 아래의 식과 같습니다.

표준형이죠

이때 우변의 R(x)가 0 일 경우 제차미분방정식, 0이 아닐 경우는 비제차 미분방정식이라 합니다.

제차미분방정식을 풀수있어야 하는 것이 먼저이기 때문에 제차부터 해봅시다.

가장 먼제 계수감소, 계수저하법 이라 불리는 풀이법이 있습니다. 2계 미분방정식 중 하나의 해 y1을 알고 있을때 y2를 구하는 방법이죠

하나의 해 y1이 y2와 비슷한 형태를 가질것이라는 가정에서 나온 식입니다.

y2= u y1 이라 가정하고 식을 구하는 것으로 공식은 아래와 같습니다.

이렇게 u를 구한 후 하나의 해 y1과 곱하는 것으로 구합니다.

본격적으로 2계 제차 미분방정식에 대해서 정리해봅시다.

**p(x),q(x)가 상수항일 경우**

가장 쉬운 경우가 p(x),q(x)가 상수항일때 입니다.

P(x),Q(x)가 상수일 경우이니 쉽게 a,b로 놓고 R(x)를 0으로 놓고 식을 다시 써 보겠습니다.

이때 y의 일반해의 형태가 지수함수 형태를 가진다고 가정해봅시다.

y= e^tx 라 하고 위 식에 대입하면 아래와 같이 될것입니다.

 

이때 지수함수 앞에 정리되는 식을 특성방정식이라고 부르며, 이 특성 방정식의 해 형태에 따라 미분 방정식의 해를 구할수있습니다.

위와 같이 특성방정식의 근을 통해 일반해를 정리할수가 있습니다.

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위 경우중 2번째 경우 중근의 경우에 같은 해가 있을시 에 x를 하나 더 붙여서 근의 형태를 띄는 것입니다.

고계 미방에서 중근이 3개라면 뒤에 x^2 이 붙은 지수함수 형태가 하나 더 있는 것이죠.

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예를 들어서 풀이를 확인해 봅시다.

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상수항일 경우 이와 같이 간단하게 해를 구할수 있습니다.

**p(x),q(x)가 상수항이 아닐 경우**

이 경우 미분 방정식은 p(x),q(x)가 어떤 형태이냐에 따라서 다양한 이름이 붙습니다. 르장드르, 코시 오일러 등등

그중에서 코시 오일러 미분방정식에 대해서 정리해봅시다.

위와 같은 형태의 미분 방정식을 코시 오일러 미분방정식이라 합니다.

 y''의 계수가 x^2이고 y'의 계수가 x, y의 계수가 상수 항을 띄는 형태가 코시오일러 미방이라고 합니다.

이런 미방은 계수가 상수항인 미방과 달리 y의 해를 지수함수가 아니라 x^t형태라고 가정해서 푸는 것입니다.

앞서 특성방정식과 마찬가지로 보조방정식의 해 형태에 따라서 미분방정식의 해를 구할수 있습니다.

역시 문제를 통해서 익히는 것이 좋겟죠?

다른 형태의 미분방정식은 여러가지 다룰 내용이 많으니 나중에 따로 설명하도록 하겠습니다.