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1계 선형 미분방정식(Linear Differential Equation)

권찡 2018. 10. 28. 18:02

선형과 비선형에 관해서는 이미 분류하는 법을 이야기 했으니 해를 구하는 법에 대해서만 다뤄봅시다.


n계 선형미분방정식에서 일단 1계까지만 봅시다.



a1(x)%5Cfrac%20%7B%20dy%20%7D%7B%20dx%20%7D%2Ba0(x)y%5Cquad%20%3Dg(x)%20


이러한 형태의 미분 방정식이 1계 선형 미방입니다.


y' 항의 계수 a1이 0이 아닐경우 양변에 나눠서 보기 편하게 해도 무방합니다. 계수를 나누면 아래의 식이 됩니다.



y'%2Bp(x)y%3Dq(x)%20



일반해를 유도해봅시다.



양변에 %5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%20 를 곱합니다. 적분인자라고 하여 이후 식에 어떠한 연산을  편하게 하기 위해서 넣는 것입니다.



 

%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20y'(x)%5Cquad%20%2B%5Cquad%20p(x)%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7Dy(x)%3Dg(x)%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cdownarrow%20%5C%5C%20%5Cfrac%20%7B%20d%20%7D%7B%20dx%20%7D%5By(x)%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%5D%3Dg(x)%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%96%91%EB%B3%80%EC%9D%84%5Cquad%20x%EB%A1%9C%5Cquad%20%EC%A0%81%EB%B6%84%5C%5C%20y(x)%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%3D%5Cint%20%7B%20g(x)%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7Ddx%2BC%5C%5C%20y(x)%3D%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%5B%5Cint%20%7B%20g(x)%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20p(x)dx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7Ddx%2BC%5D%20




유도는 이런식으로 합니다.




실제 문제를 예로 풀어보는 것이 가장 좋은 연습일 될 것이기 때문에 해봅시다.


%5C%5C%20%EB%AC%B8%EC%A0%9C.%5Cquad%20y'%2B%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%20%7Dy%3D%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%5Ccombi%20%5E%7B%20x%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cquad%20%EC%9D%98%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%98%EB%9D%BC%5C%5C%20%5C%5C%20%ED%92%80%EC%9D%B4.%5C%5C%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%B4%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%98%95%ED%83%9C%EC%97%90%5Cquad%20%EC%95%9E%EC%84%9C%5Cquad%20%EC%9D%BC%EB%8B%A8%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B6%84%EB%90%9C%5Cquad%20y%EC%95%9E%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%84%EC%88%98%EA%B0%80%5Cquad%201%EC%9D%B4%5Cquad%20%EB%90%98%EA%B2%8C%5Cquad%20%EB%A7%9E%EC%B6%94%EC%96%B4%EC%A3%BC%EC%96%B4%EC%95%BC%EB%A7%8C%5C%5C%20p(x)%EC%99%80%5Cquad%20q(x)%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%98%95%ED%83%9C%EB%A5%BC%5Cquad%20%EC%95%8C%EC%88%98%5Cquad%20%EC%9E%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5C%5C%20y'%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B3%84%EC%88%98%EB%A5%BC%5Cquad%201%5Cquad%20%EB%A7%9E%EC%B6%94%EC%96%B4%EC%A4%80%ED%9B%84%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%B4%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%5C%5C%20%5C%5C%20y%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%20%7Ddx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%5B%5Cquad%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%5Ccombi%20%5E%7B%20x%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%20%7Ddx%20%7D%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cquad%20dx%5Cquad%20%2Bc%5Cquad%20%5Cquad%20%5D%5C%5C%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%20%7D%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%98%EB%A9%B4%5Cquad%20lnx%5Cquad%20%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%98%EC%96%B4%EC%84%9C%5Cquad%20%5C%5C%20y%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-lnx%20%7D%7B%20e%20%7D%5B%5Cquad%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%5Ccombi%20%5E%7B%20x%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%20lnx%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Cquad%20dx%5Cquad%20%2Bc%5Cquad%20%5Cquad%20%5D%5C%5C%20y%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20x%20%7D%5B%5Cquad%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%5Ccombi%20%5E%7B%20x%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%5Ccombi%20%5E%7B%201%20%7D%7B%20x%20%7D%20%7D%5Cquad%20dx%5Cquad%20%2Bc%5Cquad%20%5Cquad%20%5D%5C%5C%20y%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-1%20%7D%7B%20x%20%7D%5B%5Cquad%20%5Cint%20%7B%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20%5Ccombi%20%5E%7B%20x%20%7D%7B%20e%20%7D%20%7D%20%7D%5Cquad%20dx%5Cquad%20%2Bc%5Cquad%20%5Cquad%20%5D%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20%EB%94%B0%EB%9D%BC%EC%84%9C%5Cquad%20%5Cquad%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%B4%5Cquad%20y%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%201%20%7D%7B%20x%20%7D%5Bc%5Cquad%20-%5Cquad%20%5Ccombi%20%5E%7B%20-x%20%7D%7B%20e%20%7D%5D%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4%20



고계 미방이 아니라서 풀이는 간단합니다.


또한 여기서 p(x),q(x)가 상수항이라면 더욱 쉽게 일반해를 얻을수 있습니다.


p(x)%2Cq(x)%EA%B0%80%5Cquad%20%EC%83%81%EC%88%98%EC%9D%BC%5Cquad%20%EA%B2%BD%EC%9A%B0%5C%5C%20%5C%5C%20%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%B4%5Cquad%20y%5Cquad%20%3D%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20q%20%7D%7B%20p%20%7D%5Cquad%20%2B%5Cquad%20c%5Ccombi%20%5E%7B%20-px%20%7D%7B%20e%20%7D%20



지금까지 일반적인 1계 미분방정식의 풀이를 정리했습니다.  2계 미분방정식으로 넘어가기전에 지금까지 설명한 3가지 방법으로 풀리지 않는 경우 

어떻게 풀어야 될지 다음에 정리해보죠.




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