2계 미분방정식-Nonhomogeneous Differential Equation(론스키안)

비제차  미분방정식에서 특수해를 구하는 방법중에 거의 모든 미분 방정식에 쓸수 있는 해법이 있습니다.

론스키안 해법입니다.

론스키안이란 뭘까요?

선형대수를 할줄 아시는 분이라면 독립과 종속에 관해서 알고계실 것입니다.

정말 간단히 요약한 것인데

쉽게 말하면 각각의 함수 fn 들이 앞의 상수를 통해서 곱하고 빼서 위 식이 성립 되면 각각의 함수는 종속이라는 것입니다 . 즉 서로 연관이 있다는 것으로 이해 해도 무관합니다.

예로

f1 = x-1

f2 = 5x-5

위 의 2개의 함수가 있을때 서로 상수5를 곱한 관계가 존재하면 종속입니다.  그러나

e^3x 와  sinx 가 각각 f1,f2라면 각 함수에 상수c를 곱해서 서로의 함수 형태로 만들수가 없습니다. 이런 경우  두 함수를 독립이라고 합니다.

이런 종속과 독립을 알아보는 행렬식이 기본 론스키안의 용법입니다.

론스키안 행렬식에 대해 알아보면

위 행렬식을 통해서 각 함수가 독립인지 종속인지 알수 있는 것입니다.

이전장 즉 미정계수법에서 설명드린것 처럼 y의 제차형태의 일반해와 특수해가 각각 종속 관계가 존재해 중첩의 원리가 설명이 됬던 것입니다.(증명은 하지 않겠습니다 너무 길어서)

이런 론스키안 행렬을 사용해서 특수해를 구할수가 있는 것이지요

간단한 예를 들어서 론스키안 을 사용하는 방법을 설명하겠습니다.

이런 론스키안으로 독립과 종속을 확인해 해라는 것을 판별 가능하죠

이제 본론으로 론스키안 행렬식을 사용해 특수해를 구해 봅시다.

일단 행렬을 고등학교 때 배운때 크라미 공식이라고 알고 계실꺼라고 생각합니다. 모르면 찾아보세요 설명하기 귀찮습니다

하지만 크라미 공식을 간단히 설명하자면

(1   2)(x)   = (5)

(3   4)(y)     (6)  이런 행렬식에서 x ,y값을 특정시킬수 있는 간단한 방법이 크라미 공식입니다

무슨 소리냐 x,y 앞의 행렬의 det 값과 우항의 5,6을 x가 들어갈 자리에 놓고 분자로 놓으면 계산이 완료 된다는 것입니다.

이런 것이 크라미 공식입니다.

이제 특수해를 구하는 방법에 대해 설명드리죠  특수해는 아래와 같은 형식으로 정리가 됩니다.

여기서 각각의 f 는 제차 미방의 일반해의 형태를 나눈 것입니다. 그리고 W는 그 해의 론스키안 행렬식 W1은 크라미 공식에 의한 변환 등등 입니다.

예를 들면 바로 이해 하실것입니다.

따라서 특수해는

가 나옵니다 이런식으로 구하는 방식이 론스키안 해법입니다.

위에서 말 했듯이 론스키안 해법은 모든 미방의 비제차해 즉 특수해를 구하는데 아주 유용한 해법임에는 틀립없으나 과정이 좀 길다는 단점이 있습니다.