미분방정식ODE의 풀이(급수해법)

미분 방정식의 풀이법 종류는 여러가지가 있습니다.

그중에서 변수계수를 갖는 선형 상미분방정식의 가장 표준적인 해법인 급수해법(Power Series Method)부터 알아봅시다.

가령 y'' - 2xy' + y =0 과 같은 미방이 존재한다면

위와 같은 식을 대입해서 푸는 방법이 급수해법이 되겠습니다.

 해가 멱급수형태로 얻어지게 되는 것을 알수 있죠.

조금 어려운 한가지 예를 들어보겠습니다.

위와 같은 문제가 있을때 y값을 구할수 있을까요?

이 경우 위에서 보인 식을 대입하여 푼다고 하여도 쉽게 풀릴것 같지는 않습니다만,

삼각함수는 근사화가 가능합니다. maclaurin 급수를 이용하는 것이죠.

혹시 모를분도 있을수 있으니 보여드리면

위 문제를 풀어보자면

y를 전개해본후

초기조건을 대입해 본다면 C0 =1 , C1= 1 이라는 것을 알수 있습니다.

이후 급수화된 삼각함수와 전개된 y의 식을 조합하게 되면 위의 미방을 풀게되는 것이죠

이러한 방식으로 풀어가는 것이 급수해법입니다. 

단, 한가지 예외로 급수를 다르게 설정해야할때가 있습니다. 바로 특이해가 존재할때 입니다.

특이해가 존재하는가 아닌가에 대해서는 한가지 예를 들면

y'' + p(x)y' +q(x)y =0 에서 x=0 일때 p,q 항 둘중에 하나의 식에 분모가 0이 될경우 특이해가 존재합니다.

0이 되지 않을 경우는 정상해를 갖게 되는 것입니다. 세부적으로 들어가면 정칙 특이점, 비정칙 특이점이 존재합니다. 

이에 관한 자세한 내용은 좀더 진행하고 나서 다루겠습니다.

이 경우 

이런식으로 급수를 정해야됩니다. 이경우는 추후에 다루도록 하겠습니다.