미분방정식 분류(Classification)

미분 방정식을 푼다는 것은 항등적으로 만족하는 독립변수의 함수를 구하는 것을 말합니다.

해를 구하기 위해서는 분류가 필요한데

먼저 미분방정식을 분류해봅시다.

크게 보면 상미분방정식, 편미분방정식으로 구분이 가능합니다.

더욱 세부적으로 분류하자면 계수,차수,선형/비선형 으로 분류할수 있습니다.

이렇게 분류를 하는 이유는 간단합니다. 분류를 통해 해법을 구하기 위해서죠. 어떻게 분류되는가에 따라서 풀이방법도 상이합니다.

** 상미분 방정식과 편미분 방정식**

상미분 방정식은 한개 또는 그이상의 종속 변수를 한개의 독립변수로 미분한 도함수만을 포함하는 미분방정식을 말합니다.

보통 ODE(Ordinary Differential Equation)이라고 부릅니다.

예를 들면

 

위와 같이 y가 x에 관한 일변수 함수로 표현되는 경우 위식을 상미분방정식이라고 합니다.

편미분 방정식은 한개 또는 그 이상의 종속변수를 2개 이상의 독립변수로 미분한 도함수를 포함하는 미분방정식을 말합니다.

보통 PDE(Partial Differential Equation)이라고 부릅니다.

예를 들면

위와 같이 u,v가 각각 x,y에 관한 다변수 함수일때 편미분을 이용한 것이 편미분 방정식입니다.

**계수와 차수**

다음 알아볼 내용은 계수와 차수입니다.

계수(Order)와 차수(Degree)는 엄밀히 말하면 다른 말입니다. 가끔 혼용해서 쓰는 사람도 있는데 다른 말입니다.

계수는 가장 높은 미분 횟수를 말하는 것입니다.

위에서 첫번째 식이 1번 미분한 것이 있으므로 1계 상미분 방정식에 해당합니다.

2번째 식이 2번 미분한 것이 있으므로 2계 상미분 방정식에 해당하는 것입니다.

그렇다면 차수는 무었인가??

미분방정식의 차수는 가장 높은 계수를 가진 도함수의 거듭제곱횟수를 말합니다.

이 식은 과연 몇차 미분 방정식일까요??

정답은 1차 2계 상미분 방정식입니다.  가장 높은 계수를 가지고 있는 항의 차수만을 고려하는 것입니다.

만약 위식에서 2번 미분한 식이 4제곱이 되었있다면 4차 2계 상미분 방정식이 되는 것이죠

**선형/비선형**

이 내용은 독립변수와 종속변수를 구분하셔야 알수 있습니다.

일반적으로 n계 선형 미분 방정식이라고 하면, 아래의 식을 가집니다.

각 항의 계수에 해당하는 a(x)가 독립변수x에 의존하기 때문에 위식은 선형(Linear)입니다. 

그러나 각 항의 계수에 종속변수에 의존하는 항, 즉 y가 있다면 이 식은 비선형(Non Linear)입니다.

위와같은 기준을 통해서 다양한 미분방정식을 분류하고 그에 대한 해법이 각각 다르기에 해법마다 정리를 해보겠습니다