편미분 방정식의 경계값 문제 -수학적 모델링

편미분 방정식의 경계값 문제를 다뤄보기 전에 몇가지 조건에 관하여 알고 넘어 갑시다.

보통 경계값 문제는 어떤 경계조건이 같이 주어져 확실한 답을 내릴수 있게 해줍니다. 이때 경계에서 만족시켜야할 조건을 Boundary condition이라고 하며 보통 3가지 유형이 존재합니다.

1)디리클레 조건

 

 

2)노이만 조건

3) 혼합조건

위와 같은 3가지 조건을 나눠서 분류하긴 하지만 그 명칭을 외울 필요는 없다고 봅니다. 어떻게 이런 조건을 잘 활용하느냐가 중요하겠죠.

편미분 방정식 처음 포스팅할때 공학에서 많이 사용하는 편미분 방정식이 있었습니다. 

열전도 방정식,파동방정식,라플라스or푸아송 방정식 등등

#열전도 방정식

이중에 열전도 방정식을 알아봅시다.(공학수학이니 공학에 관한것을 빼고 넘어갈수가 없네요)

 

이 열전도 방정식은 열역학에 관련되 있습니다. 나중에 기계공학 파트에서도 나올 내용으로 겹치는 부분이라고 볼수도 있겠네요. 먼저 알아도 문제는 없을것 같습니다.

 

먼저 열전도 방정식을 아래와 같았습니다.

 

위식에 y,z에 대한 변수가 없습니다. 그말인 즉슨 위식은 일차원 열전도 방정식이라는 소리입니다. 이전에 말한 파동방정식이나 다른 방정식 역시 일차원 방정식이죠.

 

공간상의 방정식을 다루려면 헤밀튼 연산자를 사용해서 표시합니다. 그러나 지금 여기서 삼차원 공간상에 시간에 관한 방정식을 다루진 않겠습니다.

먼저 일차원에 대한 이해가 없는데 3차원은 다루기는 무리죠

 

 

위 열전도 방정식은 아래와 같은 상황에서 성립하는 식입니다.

1) 막대 내의 열은 오직 x축 방향으로만 전도된다

2) 막대 내부의 계와 외부계는 단절되어있다.(막대내외로 열출입이 없다는 의미)

3) 막대 내부의 밀도는 어디서든지 일정하다

4) 막대 의 재질의 비열과 열전도율은 상수값을 가진다(위치와 시간에 따라 변하지 않는다)

5) 막대의 각 단면의 임의의 점에서의 온도는 동일하다.

 

 

 

위 같은 상황에서 열전도방정식이 유도되는 것입니다. 열전도가 x축 방향으로만 이뤄지기때문에 1차원 열전도 방정식이죠.  이런 열전도 방정식을 아마도 여러분들도 직접 상상하는 것이 가능할 것입니다.

삼겹살이나 고기집가면 불판이 뜨거워지는 것과 동일합니다. 불이 중앙부분부터 데우고, 외각쪽은 열전도가 늦어서 늦게 뜨거워지는 것과 동일한것입니다.(불판이 위와 같은 가정을 모두 만족하진 않습니다만 개념적으로 열전도를 알수 있습니다.)

혹은 철봉 한쪽에 불을 지펴서 다른쪽에 열이 퍼지는것, 뜨거은 국 혹은 찌게에 쇠로된 수저를 넣고 있는것 등등

 

이러한 가정을 이용해서 열전도 방정식을 유도해봅시다.

 

푸리에 법칙이란 단위 시간에 경계를 통해 밖으로 흐르는 열량은 경계안쪽 수직 방향으로의 방향 도함수에 비례한다 라는 내용입니다.

이 법칙은 나중에 더 상세히 다루겠습니다. 중요한것은 이때 비례하는 것을 상수로 나타내어 열전도율 K라고 합니다.

 

마지막 식은 미적분의 법칙에 따라 미적의 순서를 바꿔도 무방한거에 기초합니다.

 

이제 남은 총열량을 구해보면

 

 

마지막 새로이 생성되는 열량 즉 단위 시간에 생성된 총 열량은

 

이때 적분의 평균값 정리에서 새로 사용된 기호 크사이로 입실론과 비슷하게 생긴 기호는 그냥 정해진 구간의 임의의 위치를 나타내는 것이라고 생각하시면 됩니다. 정확히는 입실론 델타 극학의 개념이지만 굳이 알 필요 없습니다.

 

 

 

지금까지 열전도 편미분 방정식이 어떻게 나왔나 유도를 해봤는데요.

 굳이 수학파트에서 다루지 않아도 되지만 결론으로 도출된 열전도 편미분 방정식을 그냥 외우는 것보다 식의 의미를 아는 것이 중요하다고 생각했습니다. 아마도 열역학을 배우신 분들이라면 이 식을 이해하는데는 문제가 없을 것이고, 열역학을 배우지 않았다면 이 과정은 중요하지 않을수도 있겠지만 편미분 방정식의 경계값을 이용해서 이런식으로 수학적 모델링 한다는 것을 설명하려 했습니다.

 

공학도라면 어떤 현상에 대해서 수학적 모델링을 할줄 알아야 됩니다. 그냥 외우기만 하면 주입식 교육만 받은 사람처럼 필드 나가서 일할때 수동적일 수 밖에 없습니다. (공부한번 할때 제대로 하자는 의미입니다.)

 

#파동 방정식

이번에는 파동방정식을 유도해 보도록 하겠습니다.

파동방정식은 아마 앞으로 지겹게 보실 내용이며, 공학파트를 설명하면서 다양하게 다룰 내용이라 깊게 다루지는 않겠습니다.

단순히 임의의 파동을 수학적 모델링하는데 그치겠습니다.

파동이란?

 

 

위 같은 물결이 존재 할때 물위에 올려진 부력을 가진 물체는 상하운동만 하게 됩니다. 혹은 기타를 칠줄 아는 분이라면 그냥 기타의 현을 틩기는 것도 역시 파동의 종류중 하나가 되겠네요.

 

위와 같은 파동중에 일정 부분을 잘라보아서 수학적 모델링을 합니다. 역시 열전도 방정식과 같이 어떤 조건이 필요하지요 일단 위 파동의 일부분이 아래와 같다고 봅시다.

 

위 파동을 어떤 줄로 가정하면

1) 줄은 완전히 유연하다

2) 줄의 재질은 등질이면 밀도는 같다

3) 진동의 폭은 줄의 길이에 비해 아주 작다

4) 줄의 장력 T의 크기는 상수이고 중력은 무시한다

5) 장력이외의 힘은 줄에 작용하지 않는다.

 

 

위 가정을 통해서 파동 방정식을 유도할수 있습니다. 아마 위 사진처럼 중의 세부적으로 보고 대학물리1 정도에서 힘,벡터를 배웠다면 이해하는데 문제 없을것 같습니다.

 

위처럼 식을 도출 했다면 이제 약간의 물리 지식이 필요합니다. 별거 없고 뉴턴의 2법칙입니다. 혹여 모르는 분을 위해서 뉴턴의 제 2법칙은 F=ma라는 질랴과 가속도의 곱이 힘이다의 개념입니다.

 

 

 

위에서 도출된 식은 이중에 힘의 개념을 나타내는 식이라고 할수 있습니다.

 

위와 같은 방식으로 많은 현상을 수학적 모델링을 할수 있습니다.