권찡's 공학이야기

편미분 방정식의 풀이법(PDE) 본문

mathematics/engineering math

편미분 방정식의 풀이법(PDE)

권찡 2019. 1. 17. 15:38

먼저 편미분 방정식을 상미분 방정식보다 복잡하기 때문에 정해진 풀이법이, 즉 대수적 풀이법이 많지 않습니다.


그렇지만 유명한 것이 변수분리법, 방정식이 선형이라면 구한 미지함수들의 무한합으로 모든해를 구하는 경우가 있습니다.





이전에 상미분 방정식을 다룰때 역시 변수분리법으로 푸는 법을 배웠습니다. 편미분 방정식도 이런 방법으로 풀수 있는 유형이 존재 합니다.

 

예로 편미분 방정식의 해가 u(x,y)로 x와 y의 함수로 나온다면 u(x,y)=f(x)f(y) 형태의 해를 찾는 것을 말합니다.

 

만약 위와 같이 변수분리법으로 풀리는 문제라면 위와 같은 분리해를 찾고 분리해를 갖는 분리 가능한 방정식을 찾는 것이죠

 

 

위의 설명이 이해가 안가실수 있으니 예를 들어보겠습니다.


%EB%9D%BC%ED%94%8C%EB%9D%BC%EC%8A%A4%5Cquad%20%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%98%88%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%93%A4%EB%A9%B4%5C%5C%20%5Ccombi%20_%7B%20xx%20%7D%7B%20u%20%7D%2B%5Ccombi%20_%7B%20yy%20%7D%7B%20u%20%7D%3D0%5Cquad%20%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%95%B4%EA%B0%80%5Cquad%20u(x%2Cy)%3Df1(x)f2(y)%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%90%9C%EB%8B%A4%EA%B3%A0%5Cquad%20%EA%B0%80%EC%A0%95%ED%95%A9%EC%8B%9C%EB%8B%A4.%5C%5C%20%EA%B7%B8%EB%9F%AC%EB%A9%B4%5Cquad%20%ED%95%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20%5Ccombi%20_%7B%20xx%20%7D%7B%20u%20%7D%2B%5Ccombi%20_%7B%20yy%20%7D%7B%20u%20%7D%3Df''1f2%2Bf1f''2%3D0%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%96%BB%EC%9D%84%EC%88%98%5Cquad%20%EC%9E%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20f''1f2%2Bf1f''2%3D0-%5Cto%20%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20f''1%20%7D%7B%20f1%20%7D%2B%5Cfrac%20%7B%20f''2%20%7D%7B%20f2%20%7D%3D0%5Cquad%20%5C%5C%20%EC%9C%84%EC%8B%9D%EC%9D%80%5Cquad%20%EC%84%9C%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%B3%80%EC%88%98%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%A6%AC%EA%B0%80%5Cquad%20%EA%B0%80%EB%8A%A5%ED%95%9C%5Cquad%20%EC%8B%9D%EC%9D%B4%EC%A3%A0.%5Cquad%20f1%EC%9D%80%5Cquad%20x%EB%A7%8C%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%8B%9D%5Cquad%20%5Cquad%20f2%EB%8A%94%5Cquad%20y%EB%A7%8C%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%8B%9D%5C%5C%20%EB%95%8C%EB%AC%B8%EC%97%90%5Cquad%20%EC%95%84%EB%9E%98%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%8B%9D%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%84%B1%EB%A6%BD%EA%B0%80%EB%8A%A5%ED%95%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5Cfrac%20%7B%20f''1%20%7D%7B%20f1%20%7D%3D%5Clambda%20%2C%5Cquad%20%5Cquad%20%5Cfrac%20%7B%20f''2%20%7D%7B%20f2%20%7D%3D-%5Clambda%20%5C%5C%20%EC%9D%B4%EB%95%8C%5Cquad%20%EB%9E%8C%EB%8B%A4%5Cquad%20%EA%B0%92%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%8B%A4%EC%88%98%EB%9D%BC%EA%B3%A0%5Cquad%20%EA%B0%80%EC%A0%95%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20f''1%3D%5Clambda%20f1%5Cquad%20-%5Cto%20%5Cquad%20f''1-%5Clambda%20f1%3D0%5C%5C%20f''2%3D-%5Clambda%20f2%5Cquad%20-%5Cto%20f''2%2B%5Clambda%20f2%3D0%5Cquad%20%5Cquad%20%20





위의 람다값은 분리상수라고 말하고 최종적으로 나온식은 변수가 1개로 이뤄진 상미분 방정식이 됩니다.



 이제 상미분 방정식의 풀이를 그대로 풀면됩니다.

 

%EB%A7%8C%EC%95%BD%5Cquad%20%5Clambda%20%EA%B0%92%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%96%91%EC%88%98%EB%9D%BC%EB%A9%B4%5C%5C%20f1(x)%3DA%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dx%20%7D%7B%20e%20%7D%2BB%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dx%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20%2C%5Cquad%20f2(y)%3DCcos%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dy%2BDsin%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dy%5C%5C%20%5C%5C%20%5Clambda%20%3D0%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%A9%B4%5C%5C%20f1(x)%3DAx%2BB%2C%5Cquad%20f2(y)%3DCy%2BD%5C%5C%20%5C%5C%20%5Clambda%20%EA%B0%80%5Cquad%20%EC%9D%8C%EC%88%98%EB%9D%BC%EB%A9%B4%5C%5C%20f1(x)%3DAcos%5Csqrt%20%7B%20-%5Clambda%20%20%7Dx%2BBsin%5Csqrt%20%7B%20-%5Clambda%20%20%7Dx%2C%5Cquad%20f2(y)%3DC%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Csqrt%20%7B%20-%5Clambda%20%20%7Dy%20%7D%7B%20e%20%7D%2BD%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Csqrt%20%7B%20-%5Clambda%20%20%7Dy%20%7D%7B%20e%20%7D%20

 

 

위에서 나온 x에 관한해와 y에 관한해를 서로 곱한것이 u함수로 원래 편미분 방정식의 해입니다

 

 

그러나 모든 상미분 방정식을 변수분리로 풀수 없는것과 같이 모든 편미분 방정식을 변수분리로 풀수 없습니다.


 그러나 계수가 상수이고 제차인 성형 이계 편미분 방정식은 항상 분수분리법으로 풀이가 가능합니다. 

 

%EB%A7%8C%EC%95%BD%5Cquad%20%5Ccombi%20_%7B%20xx%20%7D%7B%20u%20%7D%2B%5Ccombi%20_%7B%20yy%20%7D%7B%20u%20%7D%3Dx%5Cquad%20%EB%9D%BC%EB%A9%B4%5Cquad%20%EB%B9%84%EC%A0%9C%EC%B0%A8%5Cquad%20%ED%8E%B8%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9E%85%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%EC%9D%B4%EA%B2%BD%EC%9A%B0%5Cquad%20%EB%B3%80%EC%88%98%EB%B6%84%EB%A6%AC%EB%B2%95%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20%ED%92%80%EA%B8%B0%5Cquad%20%ED%9E%98%EB%93%A4%EA%B2%83%EC%9E%85%EB%8B%88%EB%8B%A4.%20

 

 

 

 

위의 변수분리법을 제대로 익혀보기 위해서 연습문제를 풀어봅시다.

%EB%AC%B8%EC%A0%9C1.%5Cquad%20%5Ccombi%20_%7B%20xx%20%7D%7B%20u%20%7D-2%5Ccombi%20_%7B%20yy%20%7D%7B%20u%20%7D%3D0%EC%9D%98%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%A6%AC%ED%95%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%98%EB%9D%BC%5C%5C%20%5C%5C%20%ED%92%80%EC%9D%B4%5C%5C%20%EB%A8%BC%EC%A0%80%5Cquad%20u(x%2Cy)%3Df1(x)f2(y)%5Cquad%20%EB%A1%9C%5Cquad%20%EA%B0%80%EC%A0%95%ED%95%A9%EC%8B%9C%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%9D%B4%5Cquad%20%ED%95%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%EC%9C%84%EC%8B%9D%EC%97%90%5Cquad%20%EB%8C%80%EC%9E%85%ED%95%98%EB%A9%B4%5C%5C%20f''1f2-2f1f''2%3D0-%5Cto%20%5Cfrac%20%7B%20f''1%20%7D%7B%20f1%20%7D-2%5Cfrac%20%7B%20f''2%20%7D%7B%20f2%20%7D%3D0%5C%5C%20%EB%B6%84%EB%A6%AC%5Cquad%20%EC%83%81%EC%88%98%5Clambda%20%EB%A5%BC%5Cquad%20%EC%A0%95%ED%95%98%EA%B3%A0%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%B3%B4%EB%A9%B4%5C%5C%20%5Cfrac%20%7B%20f''1%20%7D%7B%20f1%20%7D%3D2%5Clambda%20%5Cquad%20-%5Cto%20f''1-2%5Clambda%20f1%3D0%5Cquad%20%5C%5C%20%EB%A7%88%EC%B0%AC%EA%B0%80%EC%A7%80%EB%A1%9C%5Cquad%20f2%EC%97%90%5Cquad%20%EA%B4%80%ED%95%9C%EC%8B%9D%EC%9D%80%5C%5C%20%5Cfrac%20%7B%20f''2%20%7D%7B%20f2%20%7D%3D%5Clambda%20%5Cquad%20-%5Cto%20%5Cquad%20f''2-%5Clambda%20f2%3D0%20



 

한가지 짚고 넘어가야 겠네요 왜 이전과 같이 람다를 부호만 바꾼게 아니냐는 질문이 올것 같아서



람다값은 처음의 미방이 성립하도록하는 적절한 상수로 정하는 것이기 때문에 처음식과 람다값을 다르게 잡은 것입니다.


%5Cbegin%7B%20cases%20%7D%7B%20f''1-2%5Clambda%20f1%3D0%20%7D%5C%5C%7B%20f''2-%5Clambda%20f2%3D0%20%7D%5Cend%7B%20cases%20%7D%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%9F%B0%5Cquad%202%EA%B0%9C%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%83%81%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9D%84%5Cquad%20%ED%92%80%EB%A9%B4%5Cquad%20%EB%B6%84%EB%A6%AC%ED%95%B4%EB%A5%BC%5Cquad%20%EA%B5%AC%ED%95%A0%EC%88%98%5Cquad%20%EC%9E%88%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5Clambda%20%EC%9D%98%5Cquad%20%EA%B2%BD%EC%9A%B0%EC%9D%98%5Cquad%20%EC%88%98%EB%A5%BC%5Cquad%20%EB%AA%A8%EB%91%90%5Cquad%20%EA%B3%A0%EB%A0%A4%ED%95%98%EC%A7%84%5Cquad%20%EC%95%8A%EA%B2%9F%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%A7%81%EC%A0%91%EB%82%98%EB%A8%B8%EC%A7%80%5Cquad%20%EB%B6%80%EB%B6%84%EC%9D%80%5Cquad%20%ED%95%B4%EB%B3%B4%EC%8B%9C%EB%A9%B4%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5Clambda%20%EA%B0%80%5Cquad%20%EC%96%91%EC%88%98%EC%9D%BC%EB%95%8C%EB%A7%8C%5Cquad%20%ED%92%80%EC%96%B4%EB%93%9C%EB%A6%AC%EA%B2%A0%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5C%5C%20%5C%5C%20x%EC%97%90%5Cquad%20%EA%B4%80%ED%95%9C%EC%8B%9D%EB%B6%80%ED%84%B0%5Cquad%20%EB%B3%B4%EB%A9%B4%5C%5C%20f''1-2%5Clambda%20f1%3D0%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%8B%9D%EC%9D%80%5Cquad%20%EC%83%81%EC%88%98%ED%95%AD%EC%9D%84%5Cquad%20%EA%B0%80%EC%A7%80%EB%8A%94%5Cquad%202%EA%B3%84%5Cquad%20%EC%83%81%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9C%BC%EB%A1%9C%5Cquad%20%EB%B3%B4%EA%B3%A0%5Cquad%20%EB%B3%B4%EC%A1%B0%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%9D%B4%EC%9A%A9%ED%95%B4%5Cquad%20%5C%5C%20%ED%92%80%EB%A9%B4%5Cquad%20%EB%90%A9%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%9D%B4%5Cquad%20%EC%A4%91%EA%B0%84%5Cquad%20%EA%B3%BC%EC%A0%95%EC%9D%80%5Cquad%20%EC%83%9D%EB%9E%B5%ED%95%98%EA%B2%A0%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EB%AA%A8%EB%A5%B4%EB%8A%94%EB%B6%84%EC%9D%80%5Cquad%20%EC%A0%9C%EB%B8%94%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EB%82%98%5Cquad%20%EB%8B%A4%EB%A5%B8%EB%B6%84%EA%B2%83%5Cquad%20%ED%98%B9%EC%9D%80%5Cquad%20%EC%B1%85%5C%5C%20%EC%9D%84%5Cquad%20%EB%B3%B4%EB%A9%B4%5Cquad%20%EC%95%8C%EC%88%98%EC%9E%88%EA%B8%B0%EB%95%8C%EB%AC%B8%EC%97%90%5Cquad%20%EB%B3%B4%EC%A1%B0%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%B4%EB%82%98%5Cquad%20%ED%8A%B9%EC%84%B1%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D%EC%9D%84%5Cquad%20%EC%8D%A8%EC%84%9C%5Cquad%202%EA%B3%84%5Cquad%20%EB%AF%B8%EB%B0%A9%EC%9D%84%5Cquad%20%ED%91%B8%EB%8A%94%5Cquad%20%EA%B3%BC%EC%A0%95%EC%9D%80%5Cquad%20%5C%5C%20%EB%B3%B4%EC%97%AC%EB%93%9C%EB%A6%AC%EC%A7%80%5Cquad%20%EC%95%8A%EA%B2%A0%EC%8A%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4.%5Cquad%20%EC%9D%B4%EB%AF%B8%5Cquad%20%EC%95%84%EC%8B%A4%EA%B2%83%5Cquad%20%EA%B0%99%EA%B8%B0%EB%8F%84%5Cquad%20%ED%95%98%EA%B3%A0%EC%9A%94%5C%5C%20%20



f1(x)%3DA%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Csqrt%20%7B%202%5Clambda%20%20%7Dx%20%7D%7B%20e%20%7D%2BB%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Csqrt%20%7B%202%5Clambda%20%20%7Dx%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20%EA%B0%80%5Cquad%20%EB%82%98%EC%98%B5%EB%8B%88%EB%8B%A4%5C%5C%20%EB%A7%88%EC%B0%AC%EA%B0%80%EC%A7%80%EB%A1%9C%5Cquad%20y%EC%97%90%5Cquad%20%EA%B4%80%ED%95%9C%EC%8B%9D%EC%9D%80%5C%5C%20f''2-%5Clambda%20f2%3D0%5Cquad%20%5C%5C%20f2(y)%3DC%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dy%20%7D%7B%20e%20%7D%2BB%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dy%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20%5C%5C%20%EB%94%B0%EB%9D%BC%EC%84%9C%5Cquad%20%EB%B3%B8%EB%9E%98%EC%9D%98%5Cquad%20%ED%95%B4%5Cquad%20%5C%5C%20u(x%2Cy)%3D(A%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Csqrt%20%7B%202%5Clambda%20%20%7Dx%20%7D%7B%20e%20%7D%2BB%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Csqrt%20%7B%202%5Clambda%20%20%7Dx%20%7D%7B%20e%20%7D)(C%5Ccombi%20%5E%7B%20%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dy%20%7D%7B%20e%20%7D%2BB%5Ccombi%20%5E%7B%20-%5Csqrt%20%7B%20%5Clambda%20%20%7Dy%20%7D%7B%20e%20%7D%5Cquad%20)%20

 

 

 

위처럼 푸는 방식이 변수분리 방법입니다.

모든 편미분 방정식이 변수분리로 풀리는 것은 아니라고 위에서도 말했습니다.



변수분리로 풀리는 조건은

1)계수가 상수

2)제차미방의 형태

 

위 2가지 조건이 만족한다면 변수분리로 풀어야 빨리 풀수 있습니다. 굳이 다른 방법을 취하면 멀리 돌아가는 꼴이니 상관은 없습니다만 계산과정이 길어지면 실수가 있기마련이죠.

 

 

 

다음장은 이런 편미분 방정식의 경계값 문제를 다뤄보겠습니다. 사실 경계값 문제라고 해봐야 어떤 점에서 어떤 값을 갖기때문에 해의 완전한 형태를 구하는 것이므로 그런 간단한 경계값 문제 말고 공학에서 많이 사용하는 열전도 방정식이나 파동방정식 라플라스 방정식의 유도형태가 왜 편미분인지를 다뤄보죠


'mathematics > engineering math' 카테고리의 다른 글

푸리에 적분  (1) 2019.03.31
편미분 방정식의 경계값 문제 -수학적 모델링  (0) 2019.01.17
편미분 방정식(PDE)  (0) 2019.01.17
Fourier series(푸리에 급수)  (0) 2019.01.08
푸리에 해석학(Fourier analysis) 직교함수 orthogonality  (0) 2019.01.08
'mathematics/engineering math' Related Articles more