푸리에 해석학(Fourier analysis) 직교함수 orthogonality

공학에서 거의 필수로 사용되는 것이 푸리에 해석학(Fourier analysis)입니다.

알고 있던 개념과 비교해보면서 푸리에 급수,적분 등등 을 정리하도록 하겠습니다.

먼저 이전에 성형 상미분 방정식의 해를 멱급수 형태로 나타낼수 있었습니다.

 

이런 멱급수해법은 공학수학 part에서 따로 정리하기도 했었습니다.

 

 

그렇다면 상미분 방정식이 아니라 편미분 방정식의 경우는 멱급수로 풀이가 가능할까요??? 아닙니다.

 

편미분 방정식은 다른 유형의 급수인 푸리에 급수를 사용해서 해법을 정의합니다. 이런 퓨리에급수및 편미분 방정식은 공학에서 여러분야에서 응용되고 있습니다.

 

 

이러한 푸리에 해석학을 하기전에 직교함수의 개념을 먼저 알아봅시다.

 

 

 

#직교함수란 무엇인가??

 

한가지 오해할수도 있을것 같아서 먼저 집고 넘어가면 어떤 함수들이 어떤 점에서 직교하며 지나간다......... 뭐 이런 개념은 절대 아닙니다

 

 

이런 직교함수를 이해하기위해서 벡터를 사용해 비교해 보겠습니다.

 

벡터가 직교한다는 어떻게 정의하냐면 바로 '내적이 0이 된다'입니다.

 

어떤 벡터 공간에서 2개의 벡터가 서로 직교한다면 그 2개의 벡터의 내적인 0이다가 벡터공간에서 벡터의 직교의 개념입니다.

 

 

그러나 함수가 직교한다는 조금 다른 개념입니다. 영어로 orthogonal한다고 말하죠

 

함수가 직교한다는 의미는 아래식이 만족했을때 함수가 서로 직교한다고 의미합니다.

 

만약 함수가 하나는 x, 또하나는 x^2 이고 범위가  -1~~~~1까지 라면

 

두함수의 곱은 x^3으로 기함수의 특성에 따라 0이 됩니다.  그러나 이런 2개의 함수가 일정 범위안에서 서로 직교하면 만나는 것은 아니죠

 

 

 

만약 벡터의 크기를 구한다면 아래와 같이 되죠

 

 

이와 같이 함수도 크기를 정의합니다. 이런 크기를 norm이라고 하면 노옴 이라고 읽기도 합니다.

함수의 내적을 하고 제곱근을 취하면 됩니다

 

 

구간 a,b에서 함수가 직교하는 집합을 직교집합이라하고  이런 직교함수들을 크기로 나누어 얻은 집합을 정칙집합 및 정규집합이라고 합니다.

예를 들어서 설명하죠

 

 

1의 경우 2파이가 나옵니다 그렇다면 위 직교집합을 정규집합으로 바꾸면

 

푸리에 해석에 있어서 가장 기본이 되는 함수의 직교에 대한 설명입니다.