라플라스 변환&역변환

라플라스 변환에 대해서 알아봅시다.

일단 라플라스 변환은 쉽게 말해서 t함수를 s 함수로 바꾸는 작업을 말합니다.

왜 라플라스 변환을 하냐면 주어진 어려운 문제를 쉬운 문제로 변환시킬수 있기 때문입니다.  이전까지의 미분방정식도 라플라스 변환을 사용하여 풀수 있습니다.

무슨 소리냐 하면 관점을 바꾸는 것입니다. 정면에서 본것을 옆면에서 보아 쉽게 보이게 하는 것이지요.

뭐 개요는 여기까지하고

라플라스는 앞서 설명한것처럼 어려운 문제를 쉽게 풀수 있게 해줍니다. 그래서 제어공학 등등 여러분야에서 활용됩니다.

일단 라플라스 기호는   이런 형태를 띄고 있습니다

위 기호를 사용하면 아래와 같은 계산을 취하라는 소립니다 이것이 곧 정의이기도 하죠

위 변환을 취하는 것이 라플라스입니다. 이를 통해 s만의 함수로 변환하는 것이지요  간단히 1을 라플라스 변환 시켜 보겠습니다.

위와 같이 1은  1/s로 변환 됩니다. 직접 해보면 여려가지 변환을 알수 잇죠 가장 많이 사용되는 몇가지 라플라스 변환을 외워두면 암산으로도 알수 있어서 외워두시기를 추천합니다.

이런 라플라스 변환 의 기본 공식을 알아두시면 요긴하게 쓰이겠죠. 한가지 특징은 라플라스 변환을 취할시 반드시 분모가 더 큰 분수꼴의 형태로 나온다는 점 입니다.  역변환시에도 분수형태를 취해야 가능한 것을 뜻합니다.

만약 위와 같은 기본 함수에 지수함수가 같이 붙어 있다면 어떻게 계산해야 할까요??? 무작정 정의식으로 풀어내기에는 시간이 오래걸릴 것입니다.

예로

 같이 계산을 하려면 부분 적분법을 사용하여 n의 숫자에 따라 많은 횟수를 적분해야 합니다. 귀찮은 작업이 아닐수 없죠

그래서 라플라스 변환의 평행이동 즉 제 1변이 공식에 대해 알려드리겠습니다.

위와 같이 지수함수 꼴과 다른 함수가 같이 있는 상황에서 지수함수를 제외한 나머지 함수를 변환시키고 마지막에 지수함수가 변환된 형식으로 대입하는 것이죠

예를 들면 바로 위 문제는 t의 n승에 관해서만 라플라스 변환시킨후 지수함수 평행이동을 시켜줍니다.

물론 정의대로 해도 됩니다만 쉬운 방법이 있는데 굳이 어렵게 갈 필요는 없지요

이렇게 라플라스를 정리할수있었습니다.

라플라스 변환 표를 확인해보시고 외울것은 외워야 겠죠

표 2번째 부터 이상한 기호나오는 것은 나중에 설명 드리겠습니다. 복소수할때 제가 다루겠습니다. 일단 표1까지를 확인해 보시면 됩니다

다시 제1변이 공식을 정리해보면

위의 표를 외우셨거나 이미 알고 있다면 역변환 역시 간단해집니다.

반대로 되돌리면 되는 것이죠.

몇가지 예시를 들면서 라플라스 변환과 역변환에 대해서 정리해보았습니다.