Complex number(복소수) - 3편 복소함수 선적분

이전 장에서 선적분과 면적분에 관해 정리했으니, 복소함수의 선적분을 정리해보죠.

 

사실 복소수라고 할지라도 일반적인 적분에는 차이가 없다고 말했습니다. 가령 예를 들면

 

이런식으로 일반적인 적분은 복소수가 들어갔다고 해서 바뀌지 않습니다.

 

 

 

어떤 경로에 대한 선적분 역시 복소평면에서 이뤄진다고 한들 개념이 바뀌는것이 아닙니다.

 

 

위식 역시 단순히 매개변수에 대해서 적분을 변환시킨것으로 실수평면에서도 동일하게 할수 있습니다.

 

경로에 따라서 선적분의 값이 바뀐다는것은 선적분을 설명할때 했던 이야기죠.마찬가지로 복소수의 선적분 역시 동일합니다.

 

 

일반적인 함수 형태중에 미분은 가능하지 않으나 연속인 함수가 있습니다.

 

뾰족하게 꺽이는 형태의 그래프가 그려지는 함수 역시 선적분은 가능하죠 이런 곡선은 조각마다 매끄러눈 곡선이라고 합니다.

 

예를 하나 들어서 아래의 경우의 선적분을 해봅시다.

 

 

위처럼 절대값이 붙은 함수는 z=0인 점에서 미분가능하지 않습니다.

 

 

 

이처럼 복소함수가  달라지면 값도 달라지게 됩니다.

 

 

위 처럼 적분하는 것은 적분을 할줄알고 복소수가 무엇인지만 알면 할수 있는 적분입니다. 중요한것은 이게 아니죠

 

선적분의 몇가지 기본성질이 있는데 이미 적분을 할줄 알면 당연할 내용이라 잘 모를 것 같은것만 집고 넘어 가겠습니다.

 

 

위 ML부등식은 이제부터 좀 나올내용으로 알아두면 좋은 법칙입니다.

 

 

#코시 리만 적분

 

이제 본격적으로 복소선적분을 다뤄봅시다.

 

이전에 선적분에서 그린정리에 대해서 설명한적이 있습니다. 벡터장이 보존적일 경우 경로와 무관하게 적분을 할수 있는 내용이었습니다.

 

복소적분에도 이런 법칙이 적용됩니다. 다만 조금 다르게 적용됩니다.

 

 

이것을 증명하는것은 그린정리와 이전에 코시리만 방정식에 의해서 증명하는것이 가능합니다.

 

증명하는 귀찮은 짓은 하지 않겠습니다. 위 코시의 적분 정리를 이용하는법이 중요하죠

 

다시말해서 해석적 영역 D안에 있는 폐곡선에 대해서 적분하면 0이 된다는 것입니다

 

 

위 정리를 응용한 내용도 역시 중요하죠

 

 

한가지 예를 들어서 위 내용을 이해해봅시다.

 

 

 

 

위 말을 그림으로 설명하면

 

 

즉 어떤 경로 내부에 a점이 존재하면 2파이 i 라는 정해진 답이 외부에 존재하면 0이라는 답이 나오게 됩니다. 이것은 선적분을 설명할때 답이 무조건 2파이로 나오는 경우와 동일한 방법으로 증명이 가능합니다.

원점에서는 선적분이 불가능하여 원점을 둘러싸게 폐곡선 경로를 설정하고 선적분을 하는 것이라고 간단하게 설명드린것과 동일한 내용입니다.

 

 

이 내용을 최종적으로 정리한 것이 코시의 적분 공식입니다. 레시드라고도 하는것으로 알고 있습니다. 제가 학부시절 배운 교수님이 한말인데, 레시드라는 말을 쓰는지는 잘 모르겠으니 그냥 코시의 적분 공식이라고 하겠습니다.

 

코시의 적분공식은 아래와 같습니다.

 

복소함수가 주어진 임의의 영역에서 해석적이고 경로 가 영역에서 단순 폐곡선일 경우  내부의 z0에대해서 위식이 성립하는 것입니다.

반대로 z0가 내부의 점이 아니라면 0이 되는 것이죠 이것은 위에서도 설명한 내용이죠

 

 

위 코시의 적분공식의 증명은 입실론 델타법을 통해서 증명이 가능하나 입실론 델타법을 모르는 사람이 많아서 증명해도 알아듣는 사람이 없는것 같습니다.

 

 

중요한것은 어떻게 활용하느냐겠죠. 위 식은 아래와 같이 변형이 가능합니다.

 

 

적분 내부의 분수에서 분모가 0이 되어 발산하는 점 즉 z0에 대해서는 적분이 불가능하나 위 공식을 통해서 풀수 있게 됩니다.

z=z0 가 된다면 불연속점이 생겨나는 것이므로 적분이 불가능합니다 원래는 .

 

이런 경우를 쉽게 실수함수로 설명해보겠습니다.

 

 

이 경우가 비슷한 경우 인것 같습니다. 다들 1/x 그래프는 아실것이라고 생각합니다. x값이 0에 가까워질수록 발산하는 그래프 형태로

보통의 경우 위 적분은 불가능한 적분입니다.

 

그러나 이상적분으로 푸는 방법이 존재하는 것처럼

위의 코시 적분공식도 이런 방법입니다.

 

 

가령

 

위 함수는 경로가 주어지면 일반적인 적분을 푸는 것과 동일하게 풀수 있으나

 

위 함수는 z=2인 점에서 해석적이지 못해서 일반적인 적분 방법으로 풀기 힘듭니다.  이때 코시의 적분공식을 쓰는 것이죠

 

z의 세제곱을 f(z)라고 생각하면 간단히 풀수 있는 것입니다.

 

 

이적분 공식을풀때 레시드를 이용해서 푸는 것이죠 한가지 예를 들어서 코시의 적분공식을 익혀봅시다.

 

 

 

경로내에 적분 내부의 함수가 발산이 되게 만드는 비해석적인 점이 존재하는지 확인하고 그에 따른 적분공식으로 푸는 것입니다.

 

다른 문제도 적용해봅시다.

 

 

 

 

 

 

 

주어진 경로가 폐곡선을 그리게 됩니다. 이때 이 폐곡선 내부의 비해석적인 점은 0그리고1 이 있고 2는 폐곡선 외부에 존재합니다.

 

따라서 2에 관해서는 적분을 하게 되면 0이 나오게 되고 나머지의 경우 2파이 i를 곱한값이 나오게 되죠. 말로 설명하려고 하니 힘드니 바로 풀이를 해봅시다.

 

 

 

위 처럼 푸는 방법이 코시 적분 공식입니다. 비 해석적으로 만드는 분모의 요인을 뺀 나머지를 f(z)로 놓고 대입을 하는 방식을 취하면 됩니다.

 

 

 

마지막으로 이런  코시의 적분공식을 응용한 문제를 풀어봅시다. 

 

 

먼저 경로를 그려보면

 

 

음 그림을 잘 못그리겠네요 어쨌든 위와 같은 원이 생깁니다. 이때 z=1 , -3에서 비해석적이 됩니다.

 

-3일때는 경로 바깥 즉 폐곡선 외부에 존재하므로 이것에 대해 적분 공식을 쓰면 0이 됩니다.

 

그러면 이제 z=1인 점에 대해서만 코시적분정리를 쓰면 되겠습니다.

 

 

 

 

 

복소함수의 선적분은 위와 같은 방법으로 풀이가 가능합니다. 그렇다면 복소함수의 도함수를 적분한다면 어떻게 해야 할까요?

 

 

 

 

#도함수의 코시 적분 정리

 

만약 아래와 같은 문제가 있다면 위공식을 적용할수 있을까요????

 

 

아마 직접 해보시면 안된다는 것을 알수 있을 것입니다. 이처럼 완전제곱 형태의 함수가 분모에 있을 경우 코시의 적분공식으로 풀수 없습니다.

 

이때 바로 도함수의 코시 적분공식이 필요하게됩니다. 이것은 미분가능한 실함수와 매우 다른 해석함수만의 독특한 성질입니다..

 

 

 

 

위 공식을 변형하면 역시 분모의 고차함수가 있어도 풀수 있게 됩니다.

 

 

 

이런 공식을 보여준다고 해서 바로 이해 하기 힘듭니다.

예를 통해서 확인해봅시다.

 

 

적분안의 함수는 분자는 전해석함수로 모든 구간에 대해서 미분가능하나 분모의 함수는 z=1에서 비해석적이 됩니다. 또한 반지름이 3인 원 내부에 있으므로 0도 아닙니다.

 

위 공식에 대입해볼까요?

 

 

간단하죠 미분하고 대입하는 과정이 추가됬을 뿐입니다.

 

다른 예를 들어보죠

 

 

 

 

설마 분수함수를 미분 못하시진 않겠지만 까먹을수도 있으니

 

 

이거 다들 아실것입니다.

 

따라서 위식은

 

 

이제 하는 방법이 조금씩 눈에 들어올것입니다.

 

저는 n을 정하는 방식을 조금 다르게 해서 이런 문제에 적용하는데 사실상 똑같은 소리입니다.  위에서는 처음 적분 내부의 고차함수를 n+1로 놓는 것이고 저는 n으로 그대로 보는 것이죠

 

 

 

 

 

사실상 같은 것입니다. 둘중에 공식은 하나만 외우세요 헷갈리면 안되니깐요

 

 

 

 

 

이제 그렇다면 코시적분정리에 관한 문제를 드리겠습니다. 답은 다음장에 달아드리겠습니다. 직접해보고 고민해보고 정답을 보는것과 그냥 보는것은 받아드리는 것에 차이가 있습니다. 수학실력이 쌓이는 것도 다르겟죠

 

 

 

위의 4문제 풀수 있을 정도 이면 코시 적분정리는 마스터한거나 다름없습니다.

 

 

풀이는 밑에 적겠습니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

풀이를 하나씩 해봅시다.

 

먼저 첫번째 문제

 

 

그런데 여기서 z=1/4에 대해 일반적인 코시 적분정리를 쓰려고 하면 분모가 다시 0이 됩니다.

특이 케이스인데 이럴경우 분모만 미분을 취해서 대입하는 것입니다. 즉

 

 

위 처럼 풀어야 됩니다.  위 법칙을 안 가르쳐 드렸으니 아마 못풀었을거라고 생각되네요. 특이케이스라 그렇구나 하고 넘어가면 됩니다.

이런 특이케이스는 비해석적점을 집어넣는데 다시 0이 되는 경우로 분모만 미분을 취하는 것입니다.

 

 

두번째 문제

 

 

 

 

 

z=0이 들어가는 것이기 때문에 -1/2만 남은 것입니다.

 

 

 

 

 

위의 2개의 문제는 조금 어려운것 같아서 힌트를 줬기만 아래의 2문제는 그렇게 어렵지 않았을것입니다.