수학에서 정의하는 공간과 차원의 개념

이후 푸리에 변환 혹은 다른 변환 등등 여러가지 경우 더 나아가 선형대수에서도 적용되는 이야기를 하고 넘어갑시다.

 

설명 드릴 내용은 수학에서, 아니 어쩌면 공학계열 통틀어서 수학을 빼놓을순 없으니, 공간 space의 개념을 설명하고자 합니다. 선형대수 관련 내용이 나오지만 자세한것은 선형대수에서 정리하도록 하죠

 

 

벡터의 개념은 다들 아실 것입니다. 물리를 조금만 해봐도 알겠지만 벡터와 스칼라가 다른것은 알고 계실 것 같네요.

 

그... 무슨 광고에서 커플인데 여자친구가 인생은 속도가 아니라 방향이다  라고 하니, 남자친구가 이과 계열인지 속도는 벡터 값이니 방향을 포함하고 있다, 뭐 그런식의 광고를 본적이 있습니다.ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

 

 

저도 이과계열이라서 이런거 그냥 못지나가는 성격이긴 하지만..  어쨌든 벡터라는 개념은 많이들 알고 있는 개념이죠.

 

 

먼저 벡터 공간이라는 것을 정의해봅시다.

 

간단히 말하면 벡터들이 이루고 있는 공간을 말하는 것입니다.  가장 쉽게 설명할수 있는 2차원 평면을 생각해볼수있죠.

 

x,y로 이뤄진 2차원 평면,

 

 

 

 

2차원 평면 상에 존재하는 벡터들

 

 

가령 하나의 벡터가 A라고 해보면,  그 성분을 x성분과 y성분 으로 나눠볼수 있습니다.

 

(2 , 1)의 벡터라면,  x성분이 2 ,y 성분이 1 인 벡터를 나타내는 것이죠. 

 

공간에 대한 좀더 정확한 정의는 집합의 개념입니다. 벡터들로 이뤄진 집합

 

이런 2차원 벡터공간은 좀더 수학적으로 유클리드 2차원 공간 이라고 합니다.

 

 

 

 

R^2 로 표시하는 것이 2차원 유클리드 벡터공간이라는 것을 나타내는 것이죠.  R은 실수를 의미하니 2개의 축이 모두 실수로 이뤄진 2차원 집합을 의미합니다.

 

 

 

당연히 3차원 유클리드 벡터 공간은 아래와 같이 성분이 3개인 벡터로 구성됩니다.

 

 

 

 

여기까지는 사람이 확실이 인지할수 있는 3차원 공간의 개념이죠. 

 

 

좀더 확장을 해서 n차원 유클리드 벡터 공간은

 

 

여기서 부터는 잘 상상이 안가지만 축을 어떻게 잡느냐에 따라서 가능하긴 합니다.

 

 

이런 유클리드 공간을 정의할때 반드시 만족해야 하는 공리가 몇가지 있습니다. 당연한 공리죠

 

1. 항등원이 존재한다.

 

2. 역원이 존재한다.

 

3. 교환법칙이 성립한다.

 

4. 결합법칙이 성립한다.

 

5. 분배법칙이 성립한다.

 

6. 성분들 간의 내적이 존재한다.

 

등등

 

 

당연한 대수적 법칙들입니다.

 

이런 공간을 표현하는데 있어서 최소로 필요한 성분을 우리는 기저(basis)라고 합니다.

 

2차원을 예로 들면, x성분 과 y성분이죠.

 

3차원이라면 z성분도 있고요.

 

즉 2차원의 공간이라면 2개의 기저벡터가 존재하고, 3차원이라면 3개 , n차원이라면 n개의 기저벡터가 존재합니다.

 

이런 유클리드 공간에서 기저를 가지고 표현하지 못하는 것은 없죠.  또한  기저를 가지고 벡터공간을 생성할수 있으며,  각각의 기저벡터는 서로 독립입니다.

 

 

가량 2차원 벡터공간 R^2는  (1,0 ) (0,1)의 표준기저를 가집니다.  이런 표준기저에 상수배를 해서 서로 덧셈, 뺄셈하는 것으로 해당하는 공간을 표현이 가능한 것이죠.

 

가령 (1,1)은  2개의 표준기저의 합으로 표현할수 있기 때문에 기저로 보통 잡지는 않습니다.

 

 

더구나 이런 기저들은 서로 내적을 하게 되면 0이라는 특징을 가지고 있습니다. 직교하기 때문이죠.

 

최근 통신에서 그람 슈미트 직교화에 대해서 언급을 했는데, 이것이 유한차원의 공간의 기저를 변형시켜서 서로 직교하는 직교기저로 바꾸는 과정을 그람-슈미트 직교화 과정이라고 하는 것입니다.

 

 

n차 이하의 차수를 갖는 다항식들의 벡터공간은 아래와 같다고 해봅시다.

 

 

 

이때의 다항식들을 표현할수 있기 만드는 기저들은

 

입니다.

 

이런 기저들의 집합의 성분을 잘 보면 서로 일차 독립임을 알수 있고,  각각의 기저의 일차 결합을 통해서 다항식을 표현할수 있습니다.

 

 

 

좀더 세부적으로 들어가 봅시다.

 

부분공간(Subspace)를 다뤄봅시다.

 

가령 2차원 벡터공간에 y=x 라는 직선이 있다고 생각해봅시다.

 

이 직선 역시 점들의 집합으로 하나의 space라고 말할수있습니다.  이 직선은 항상 (a,a)의 점을 지나죠

 

(1,1)+ (5,5)=(6,6) 같이 말이죠

 

 

또한 직선의 한 포인트를 상수배를 하여도

2(1,1)=(2,2)

 

역시 직선에 속해있습니다.

 

 

즉 벡터공간의 부분인 부분집합 자체가 벡터공간에서 나왔기때문에  이런 특성을 지녔다고 말할수 있습니다.

 

 

 

부분 집합의 원소간의 덧셈과 상수배를 하여도 역시 부분 집합에 속하는 성질을 가질때 부분공간이라고 합니다.

 

당연한 이야기 라고 생각할수 있지만 하는데는 이유가 있죠, 뒤로 갈수록 아실것입니다.

 

 

 

이번에는 null space입니다.

 

Null space의 정의는  Ax =0 을 만족시키는 Vector space x 입니다.

 

 

가령 

 

 

이때 벡터 공간 x 가 null space가 되기 위해서는 원소값이 전부 0 이어야만 합니다.

 

그러나

 

 

 

이렇게 주어지게 되면 x의 성분은 하나로 딱 떨어지지 않습니다.

 

 

만족시킬수 있는 많은 값들이 존재합니다.  그러나 일반화 시키게 되면

 

 

 

과 같은 또 다른 벡터공간이 됩니다.

 

 

필요한 것은 더 있지만 간단한 것만 해봅시다.

 

 

 

 

개념을 확장 시켜봅시다. 이제 시작이죠 윗 내용은 당연한 말이니

 

 

복소수의 벡터공간을 다루면  복소수의 집합은 C로 표시합니다.

 

 

복소수라고 해서 어려울것 없습니다.

 

z= a + bi 라고 할때

 

실수부와 허수부의 값을 2차원 벡터공간에 적용시킨다고 해보녀

 

실수축과 허수축으로 나눠볼수 있습니다.

 

당연하지만 역시 공리들이 성립합니다.

 

 

 

이때 기저는  역시 실수축의 단위벡터와 허수축의 단위 벡터겠죠. 역시 이 2개의 기저 역시 직교한다는 것을 알수 있습니다.

 

초등학교때나 배웠던 2개의 직선이 90도의 각을 이룰때 직교한다는 개념에서 확장을 시켜서 다음으로 나갈 필요가 있습니다.

 

 

직교한다  =   내적이 0 

 

이 내용은 함수에도 적용됩니다. 

 

https://kwon-jjing.tistory.com/26?category=763310

푸리에 해석학(Fourier analysis) 직교함수 orthogonality

여기에서 다뤄 본적이 있습니다.

 

이런 함수들에 의한 공간을  L^n 이라고 하고  ,  n차원 벡터공간의 개념이 그대로 함수들로 이뤄진 공간에도 적용된다 라고 생각하면 됩니다.

 

 

함수간의 직교한다는 의미는 아래와 같고,

 

 

 

 

 

벡터의 크기를 정의한것과 같이 함수의 크기 역시 정의할수 있었죠.

 

 

 

 

 

공학에서 많이 사용되는 푸리에 변환은 이런 함수의 직교특성을 이용합니다.

 

 

예를 들어 전자공학에서는 신호 해석에 삼각함수 = 정현파를 많이 이용하는데, 이를 통해서 푸리에 급수, 푸리에 변환을 많이 이용합니다.

 

 

모든 신호는 삼각함수의 합으로 표현될수 있다,  즉  함수공간의 부분 공간에 있어서 삼각함수가 기저가 된다.

 

 

이것이 전자공학에 있어서 전체를 관통하고 있는 하나의 기본적 수학 개념입니다.

 

 

물론 예전에 말한것 처럼 편미분 방정식을 풀때 이용되기도 합니다.