특수한 미분방정식(리카티 미분방정식)

리카티(Riccati) 미분방정식은 아래와 같은 식입니다.

위와 같은 형태의 미분 방정식을 보고 리카티 미분방정식이라고 합니다. 지금까지 정리한 내용으로 이런 미분방정식을 푸는 법이 떠오르지가 않습니다.

상당히 어려운 미분방정식입니다. 왜냐?

일단 풀이가 이미 알고 있는 particular Solution이 있어야 됩니다.

??????

무슨 말이냐면, 하나의 특수해를 알고 있어야 다음의 풀이가 가능하다는 것인데, 이 특수해를 얻는 방법이 따로 있는 것이 아니며, 직관적으로 혹은 여러번의 시도로 얻어야 합니다.

가령 y=2x 넣으면 성립할 것 같은데?? 혹은 y=1 넣으면 성립하는데??

와 같은 방식으로 찾아야 하기 때문입니다.

리카티 미분방정식의 예를 하나 들어볼까요??

이런식으로 하나의 해를 때려 맞춰야 됩니다.

자, 만약에 위와 같이 때려 맞춰서 하나의 해를 얻었다고 해봅시다. 이 해는 y1 이라고 칭하겠습니다.

그리고 일반해를 y=y1+u(x) 라 가정합니다.

이 일반해를 리카티 미분방정식에 대입합니다.

이때 y1이 주어진 미분방정식의 해라는 것은 이미 알고 있으므로

그러면 위의 식에서 u가 없는 항이 정리가 됩니다.

정리가 되면 이 식은 베르누이 미분방정식과 같은 형태가 됩니다. 이것을 베르누이 미분방정식 같이 풀어내는 것입니다.

예를 들어서 하나 문제를 풀어보죠

 

무엇을 대입해야 위식이 만족할까요???

답은 2x입니다.

그렇다면 일반해는

 

위 식을 미분방정식에 대입해봅시다.

 

이제 1계 선형 미분방정식처럼 풀면 되겠죠

 

따라서 최종적인 일반해는 

 

이런 식이 됩니다.