회로이론 - node voltage(절점 전압), mesh current(망 전류)

이번에 공부할 node voltage는 또 다른 회로의 해석법이고 각 노드에 어느정도의 전압을 가지고 있는지
알수있는 방법이 되겠습니다.

node voltage를 공부하기 앞서서 회로에 node 등등 이런 용어들을 알아보겠습니다

Branch : 소자가 달려있는 선
node : branch가 만나는 점
loop : 기본 폐회로를 의미 (폐회로란 회로내에서 하나 혹은 여러개의 선으로 그려진 독립적인 회로)

가령 이 회로는 3개의 loop로 이뤄졌다고 볼수 있겠네요

위 개념들은 Branch = node + loop -1의 관계를 가집니다

독립 전압원 : 독립적으로 양단에 일정한 전압을 걸어주는 것 

독립 전류원 : 마찬가지로 일정한 전류를 흐르게해주는 전류원

의존 전압 , 의존 전류원 : 회로의 어느일정 부분에 걸리는 전류나 전압에 따라 값을 달리하는 source

이는 기본중에 기본이므로 모두 숙지해야 합니다.

 

#node voltage
이제 다시 본론으로 돌아와  node voltage에 대해 알아보겠습니다.
이 해석법을 사용할때 2가지만 기억하면 됩니다.

 

1) 각 node에 전압을 표시
2) KCL를 적용
매우 간단합니다.

몇가지 예로 node voltage 를 해석하는 법에 대해  알아보겠습니다

이 회로는 독립전압원 2개와 저항이 3개로 이뤄진 회로입니다.

회로아래에 달린 역피라미드 모양은 ground 로 전압이 0인 점을 말합니다.

천천히 시작해봅시다

 

말로 풀어서 설명할 것이기 때문에 종이가 있다면 직접 그려서 제가하는 말을 따라서 표시해보시죠. 그럼 이해가 빠를것입니다.

먼저 V1은 50V인 node입니다.
왜냐 회로상에서 밑의 선은 ground로 전압이 0이고 독립전압원에 의해 V1 지점과 밑에
선상에서 무조건으로 50V차이가 나오게 50V 독립전압원이 달려있죠.

마찬가지로  V3점은 - 80V가 되겠군요

그렇다면 V2는 어떻게 구해야 할까요?
구하는 법은 간단합니다 V2를 미지수로 생각하고 KCL를 적용하는 것입니다. V2지점에서

V1 지점에서 V2로 가는 전류를 식으로 표현하면
(V1 - V2) / 10k 가 됩니다 (옴의 법칙 적용) I = V/R

V2에서 V3로 가는 전류는
(V2 - V3) / 40k

V2에서 ground 방향으로 가는 전류는

V2 / 20k

KCL 적용

여기에 V1 = 50V , V3 = -80V 대입

위식을 이용하면 미지수 V2 밖에 남지 않는 방정식이 됩니다.
우리는 이식을 이용해 V2를 구할수 있죠
V2 = 120/7 이 나오는 군요

또다른 예를 들겠습니다.

이 문제를 node voltage 를 사용해서 풀어보죠

좀 어려워 보일수 있지만 차근차근 하면 문제 없을 것입니다.
순서대로 node에 전압을 설정하고 그라운드를 설정해 보겠습니다

V2 =V3 (중간에 소자가 없으므로 전압 강하나 상승이 없어서)

 

V1 지점에서 KCL
6 = V1/40 + (V1-V2)/8

 

V3 지점에서 KCL
(V1 - V2)/8  = V2/80 + V2/120 +1 

위 두 식을 이용하면 V1 과 V2를 구할수있죠.

 

직접 풀어보시기를 권장합니다. 이정도까지 했다면 연립방정식 푸는 것과 동일합니다.

 

#mesh current

이번에는 mesh current 를 알아보겠습니다.

mesh current 란  무엇인가?

회로망 내의 임의의 폐회로(그물눈)에서 망 속을 그림과 같이 한 바퀴 도는 것이라고 생각되는 전류를 말합니다.

위 그림이 mesh current를 잘 설명하고 있죠.

이방법 역시 회로의 또다른 해석 방법입니다.
역시 2가지를 고려하면
1) 각 폐회로에 일정한 전류(mesh current)가 돈다고 표현
2) KVL 적용
이렇게 하면 mesh current를 알수 있죠

바로 예를 들어보겠습니다.

위 그림에서 파란색 글씨로 표시된 모든 전류를 구해 보겠습니다. 다른 방법을 써도 되나 mesh current를 이용해 문제를 풀어보겠습니다.

위에 3개의 loop가 있습니다 시계방향이나 반시계 방향 상관없이 mesh current를 표현하겠습니다.

위 의 표시 처럼 각 폐회로에 망전류를 표현했습니다.
여기서
i1 = ix
i2 = ix - iy
i3 = iy
i4 = ix - iz
i5 = iy - iz
i6 = iz
로 볼수있겠군요.

이상태에서 KVL를 적용하면 됩니다
ix가 돌고있는 폐회로부터하면
-125 + (1 x ix) + 6(ix - iz) + 2(ix - iy) = 0

iy회로
-125 + 2(iy - ix) + 12(iy - iz) + (1 x iy) = 0

iz회로
(24 x iz) + 12(iz - iy) + 6(iz - ix) = 0

이 3개의 식을 이용해 연립 방정식으로 각각의 전류를 구할수 있는것입니다.
간단한 방법이죠

답은 ix = 약 23.8, iy = 18.4, iz = 8.7 정도 이군요

다른 예를 한번 들어보겠습니다 
 

첫번째 문제 보다 훨씬 간단합니다 왜냐 전류원이 붙어있다는 것은 위쪽의 폐회로의 값이 정해진거나 다름 없죠 따라서

ix 에대한 KVL
-50 + 4(ix + 12) -30 = 0
iy에 대한 KVL
8iy +30 4(iy +12) = 0

이 되어 매우 간단한 식이 되었습니다. 이 문제의 답은 이글을 보신분들의 몫으로 남겨두겠습니다.

 

 

 

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# supernode, supermesh

이 방법은 앞서 정리한 node voltage, mesh current를 사용하는데 있어 좀더 유용한 방법입니다.

 

먼저 supernode는 node사이에 전압원이 껴있어서 각 node에 전압을 하나로 묶어서 표현해 미지수를 줄이는 것입니다.

예로

10v 전압원 위치를 확인해 보시기 바랍니다 각 노드에  v2, v3로 표현되있지만
v2는 v3보다 10v큰 전압을 가지고 있기때문에
v2 = 10 + v3로 표현할수 있습니다

이전에 설명 드린 node voltage방법을 써 위 회로를 해석할때 식을 더욱이 간단히 할수있는 것이죠

supermesh도 거의 비슷한 방법입니다

위 사진을 보시면 2개의  closed loop사이에 전류원이 껴있네요.

왼쪽 회로에 ix라고 설정하고 오른쪽 회로에 iy라고 각각 시계방향으로 설정해보겠습니다.

중간에 전류원이 껴 있는 자리가 ix 방향과 iy방향이 서로 반대가 되어 상쇄되는 구간이나
우리는 상쇄된 이후의 전류값을 알수 있는 것입니다.

iy - ix = 3A            
인것입니다

이역시 위의 supernode와 마찬가지로 변수를 줄여서 한번에 계산할수있겠군요

 

어찌보면 당연한 것입니다. 이렇게 해야 변수를 많이 줄이죠.